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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:49 Fr 23.04.2010 | | Autor: | Help23 |
| Aufgabe | Berechnen sie folgende Ausdrücke:
[mm] a)\summe_{k=1}^{10}5k+\summe_{k=1}^{10}k
[/mm]
[mm] b)\summe_{j=-2}^{2}j^2
[/mm]
[mm] c)\summe_{k=3}^{5}(2^k-1)
[/mm]
[mm] d)\summe_{k=1}^{3}(\summe_{j=1}^{k}kj) [/mm] |
Hey!!
Also, die ersten 3 Aufgaben habe ich so gelöst
a) [mm] a)\summe_{k=1}^{10}5k+\summe_{k=1}^{10}k [/mm]
= (5*1 + 5*2 + 5*3 + 5*4 + 5*5 + 5*6 + 5*7 + 5*8 + 5*9 + 5*10) + (1+2+3+4+5+6+7+8+9+10)
=275 + 55
=330
[mm] b)\summe_{j=-2}^{2}j^2
[/mm]
[mm] =(-2)^2 [/mm] + [mm] (-1)^2 [/mm] + [mm] 0^2 [/mm] + [mm] 1^2 [/mm] + [mm] 2^2 [/mm]
=10
[mm] c)\summe_{k=3}^{5}(2^k-1)
[/mm]
[mm] =(2^3-1) [/mm] + [mm] (2^4-1) [/mm] + [mm] (2^5-1)
[/mm]
=53
Bei d) bin ich leider etwas überfragt
Wenn ich erstmal nur die erste Summe betrachte steht da schon mal 6, aber was mache ich mit dem 2. Term?????
Wie soll ich das denn von 1 - k laufen lassen???
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:05 Fr 23.04.2010 | | Autor: | abakus |
> Berechnen sie folgende Ausdrücke:
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> [mm]a)\summe_{k=1}^{10}5k+\summe_{k=1}^{10}k[/mm]
>
> [mm]b)\summe_{j=-2}^{2}j^2[/mm]
>
> [mm]c)\summe_{k=3}^{5}(2^k-1)[/mm]
>
> [mm]d)\summe_{k=1}^{3}(\summe_{j=1}^{k}kj)[/mm]
> Hey!!
>
> Also, die ersten 3 Aufgaben habe ich so gelöst
>
> a) [mm]a)\summe_{k=1}^{10}5k+\summe_{k=1}^{10}k[/mm]
> = (5*1 + 5*2 + 5*3 + 5*4 + 5*5 + 5*6 + 5*7 + 5*8 + 5*9 +
> 5*10) + (1+2+3+4+5+6+7+8+9+10)
> =275 + 55
> =330
>
> [mm]b)\summe_{j=-2}^{2}j^2[/mm]
> [mm]=(-2)^2[/mm] + [mm](-1)^2[/mm] + [mm]0^2[/mm] + [mm]1^2[/mm] + [mm]2^2[/mm]
> =10
>
> [mm]c)\summe_{k=3}^{5}(2^k-1)[/mm]
>
> [mm]=(2^3-1)[/mm] + [mm](2^4-1)[/mm] + [mm](2^5-1)[/mm]
>
> =53
>
> Bei d) bin ich leider etwas überfragt
>
> Wenn ich erstmal nur die erste Summe betrachte steht da
> schon mal 6, aber was mache ich mit dem 2. Term?????
> Wie soll ich das denn von 1 - k laufen lassen???
Halo,
in "ersten Durchlauf" ist das k vom äußeren Summenzeichen 1, und j läuft somit von 1 bis 1.
Im zweiten Durchlauf ist k mittlerweile 2 geworden, und j läuft von 1 bis 2.
Im dritten Durchlauf gilt k=3, also läuft j von 1 bis 3.
Die Gesamtsumme ist
(1*1)+(2*1+2*2)+(3*1+3*2+3*3).
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:14 Fr 23.04.2010 | | Autor: | Help23 |
Hey! So wirklich verstehe ich das noch nicht...heißt dass mein komplettes Ergebnis für d lautet 31????
Ich verstehe auch noch nicht, warum im dritten durchlauf k=1 isr und nicht 3 wird, wie k im 2. Durchlauf 2 wid.....
Folgt das einem bestimmten Gesetz oder Regel, sodass ich das nachschauen kann.......
LG
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Hallo
> Hey! So wirklich verstehe ich das noch nicht...heißt dass
> mein komplettes Ergebnis für d lautet 31????
Wie kommst du dareuf? Rechne nochmals nach..
>
> Ich verstehe auch noch nicht, warum im dritten durchlauf
> k=1 isr und nicht 3 wird, wie k im 2. Durchlauf 2 wid.....
Abakus hat mittlerweile seinen Beitrag korrigiert und geschrieben, dass k im dritten Durchlauf 3 ist!
Du liegst also richtig :)
>
> Folgt das einem bestimmten Gesetz oder Regel, sodass ich
> das nachschauen kann.......
>
> LG
Grüsse, Amaro
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:38 Fr 23.04.2010 | | Autor: | Help23 |
Also..auf mein Ergebnis bin ich deshalb gekommen, weil
[mm] \summe_{k=1}^{3} [/mm] = 6
und addiert mit dem Term aus der Klammer [mm] \summe_{j=1}^{k}kj......
[/mm]
0hhhh...oder muss ich das multiplizieren.....wohl eher, oder 
Dann wäre mein Ergenis 150
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Hey
> Also..auf mein Ergebnis bin ich deshalb gekommen, weil
>
> [mm]\summe_{k=1}^{3}[/mm] = 6
>
> und addiert mit dem Term aus der Klammer
> [mm]\summe_{j=1}^{k}kj......[/mm]
Du musst diese Summe nicht separat ausrechnen! Du kannst nicht einfach trennen...
Aber abakus hat dir in seinem Beitrag ja erklärt, was die Summe schliesslich ist! Lies das nochmals durch ;)
>
> 0hhhh...oder muss ich das multiplizieren.....wohl eher,
> oder
>
> Dann wäre mein Ergenis 150
Ne, stimmt wieder nicht.. aber die Lösung ist ein Faktor dieser Zahl ;)
Grüsse, Amaro
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:50 Fr 23.04.2010 | | Autor: | Help23 |
Ok, also heißt das mein Gesamtergebnis ist 25 und ich benutze den ersten Term nur dazu, dass er mir angibt, von wo bis wo mein Laufindex geht??????
Sonst kapier ich das grad gar nich..... :-(
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Hallo Help23,
Es geht dir jetzt um die Summe [mm]\textstyle\sum_{k=1}^3{\left(\sum_{j=1}^k{kj}\right)}[/mm], oder? Falls ja, so beachte, daß [mm]k\![/mm] nicht von [mm]j\![/mm] abhängt. Deswegen können wir [mm]k\![/mm] aus der inneren Summe "herausziehen": [mm]\textstyle\sum_{k=1}^3{\left(k\textcolor{magenta}{\sum_{j=1}^k{j}}\right)}[/mm]. Nun gilt nach der ![[]](/images/popup.gif) Faulhaberschen Formel: [mm]\textstyle\textcolor{magenta}{\sum_{j=1}^k{j}=\frac{k(k+1)}{2}}[/mm]. Also: [mm]\textstyle\sum_{k=1}^3{\frac{k^2(k+1)}{2}}=\frac{1}{2}\left(\sum_{k=1}^3{k^3}+\sum_{k=1}^3{k^2}\right)[/mm]. Wieder nach Faulhabers Formel ist das gleich [mm]\textstyle\frac{1}{2}\left(\left(\frac{3^2 + 3}{2}\right)^2 + \frac{3(3+1)(2\cdot{}3+1)}{6}\right)=25[/mm].
Viele Grüße
Karl
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