Summen von Einheitswurzeln < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Q ist [mm] \mathbb{Z}/q\mathbb{Z} [/mm] und [mm] \zeta [/mm] sei eine primitive q-te Einheitswurzel in [mm] \mathbb{C} [/mm] und [mm] x\in Q\setminus\{0\} [/mm] fest gewählt.
Behauptet wird, dass dann
[mm] \sum_{y\in Q\setminus \{0\}} \zeta^{xy}=-1 [/mm] gilt. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Wobei ich mir gerade glaube sicher zu sein =) ist, dass wenn [mm] x,y,y_i\in Q\setminus\{0\} [/mm] mit x fest, dann gilt [mm] \{xy_1,xy_2,\hdots ,xy_{(q-1)}\}=\{x1,x2,\hdots ,x(q-1)\}=\{1,2,\hdots ,q-1\}. [/mm] Das heißt ich brauche eigentlich nur nachzuweisen, dass [mm] \sum_{y\in Q\setminus\{0\}} \zeta^y=\zeta^{1}+\hdots +\zeta^{q-1}=-1 [/mm] gilt.
Nur ist gut, leider weiß ich nicht mehr als die Definition über komplexe Einheitswurzeln. Was kann man denn damit so alles machen?
Grüße,
tk
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:14 Sa 26.06.2010 | | Autor: | andreas |
> Wobei ich mir gerade glaube sicher zu sein =) ist, dass
> wenn [mm]x,y,y_i\in Q\setminus\{0\}[/mm] mit x fest, dann gilt
> [mm]\{xy_1,xy_2,\hdots ,xy_{(q-1)}\}=\{x1,x2,\hdots ,x(q-1)\}=\{1,2,\hdots ,q-1\}.[/mm]
das gilt nur, wenn $x$ und $q$ teilerfremd sind. ist etwa vorausgesetzt, dass $q$ prim ist?
> Das heißt ich brauche eigentlich nur nachzuweisen, dass
> [mm]\sum_{y\in Q\setminus\{0\}} \zeta^y=\zeta^{1}+\hdots +\zeta^{q-1}=-1[/mm]
> gilt.
>
> Nur ist gut, leider weiß ich nicht mehr als die Definition
> über komplexe Einheitswurzeln. Was kann man denn damit so
> alles machen?
die definition reicht hier auch. berechne mal die summe [mm] $\sum_{k=0}^{q-1} \zeta^k$ [/mm] mit hilfe einer geeigneten summationsformel.
grüße
andreas
|
|
|
| |
|
Hi, ja vielen Dank. Mit der Summationsformel für die geometrische Reihe kriegt man, [mm] \sum_{k=0}^{q-1}\zeta^k=\zeta^0+\sum_{k=1}^{q-1}\zeta^k =\frac{1-\zeta^{q-1+1}}{1-\zeta}=0 \Leftrightarrow \sum_{k=1}^{q-1}\zeta^k [/mm] = [mm] -\zeta^0 [/mm] = -1
Das allein ist ja schon super, wenn meine Annahme von oben korrekt wäre
wäre es perfekt. Ist sie aber nicht. Deshalb gilt leider nicht unbedingt [mm] \sum_{y\in Q\setminus\{0\}}\zeta^{xy}=\sum_{k=1}^{q-1} \zeta^k [/mm] wie löst man das auf?
lg
tk
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:39 Sa 26.06.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo
Sag mal, du hast das ganze doch schon einmal gefragt. Warum schreibst du nicht dort weiter?!
(Ansonsten wurde hier noch danach gefragt.)
Deine Aufgabenstellung ist uebrigens so immer noch falsch.
> Das allein ist ja schon super, wenn meine Annahme von oben
> korrekt wäre
> wäre es perfekt. Ist sie aber nicht. Deshalb gilt leider
> nicht unbedingt [mm]\sum_{y\in Q\setminus\{0\}}\zeta^{xy}=\sum_{k=1}^{q-1} \zeta^k[/mm]
> wie löst man das auf?
Na, es ist doch [mm] $\sum_{y \in Q \setminus \{ 0 \}} \zeta^{x y} [/mm] = [mm] \sum_{y=1}^{q-1} (\zeta^x)^y$. [/mm] Und [mm] $\zeta^x$ [/mm] ist eine $q$-te Einheitswurzel ungleich 1.
LG Felix
|
|
|
| |
|
Ja wirklich, das stimmt. Habe ich tatsächlich. Ich komm schon ganz durcheinander. Sorry. Hatte ich vergessen, dass ich das hier gepostet hab.
Jetzt muss ich wohl beide auf dem Laufenden halten.
Jedenfalls ist dann doch alles gezeigt. [mm] \zeta [/mm] eine primitive q-te Einheitswurzel im Komplexen. x Fest aus [mm] Q\setminus\{0\}. [/mm] Damit ist [mm] \zeta^x [/mm] wieder eine q-te primitive Einheitswurzel.
Dann gilt [mm] \sum_{y=0}^{q-1} \zeta^{x^y}=0 [/mm] mit der Summationsformel der geometrischen Reihe. Und es ist
[mm] \sum_{y=0}^{q-1} \zeta^{x^y}=\zeta^{x^0}+\sum_{y=1}^{q-1} \zeta^{x^y}=0 \Leftrightarrow \sum_{y=1}^{q-1} \zeta^{x^y}=-1
[/mm]
Damit ist doch schon alles gezeigt, was ich zeigen wollte, oder?
Liebe Grüße,
tk
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:43 So 27.06.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Jedenfalls ist dann doch alles gezeigt. [mm]\zeta[/mm] eine
> primitive q-te Einheitswurzel im Komplexen. x Fest aus
> [mm]Q\setminus\{0\}.[/mm] Damit ist [mm]\zeta^x[/mm] wieder eine q-te
> primitive Einheitswurzel.
Vorsicht! Es ist nur dann eine primitive $q$-te Einheitswurzel, wenn $x$ teilerfremd zu $q$ ist (etwa wenn $q$ prim ist). Es reicht aber voellig aus, wenn [mm] $\zeta^x \neq [/mm] 1$ ist und [mm] $\zeta^x$ [/mm] irgendeine $q$-te Einheitswurzel.
> Dann gilt [mm]\sum_{y=0}^{q-1} \zeta^{x^y}=0[/mm] mit der
> Summationsformel der geometrischen Reihe. Und es ist
> [mm]\sum_{y=0}^{q-1} \zeta^{x^y}=\zeta^{x^0}+\sum_{y=1}^{q-1} \zeta^{x^y}=0 \Leftrightarrow \sum_{y=1}^{q-1} \zeta^{x^y}=-1[/mm]
Also es ist [mm] $(\zeta^x)^y [/mm] = [mm] \zeta^{x y} \neq \zeta^{x^y}$! [/mm] Und die geometrische Summenformel sagt nichts ueber [mm] $\sum_{y=0}^{q-1} \zeta^{x^y}$ [/mm] aus, sondern ueber [mm] $\sum_{y=0}^{q-1} (\zeta^x)^y$.
[/mm]
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:32 Sa 26.06.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Q ist [mm]\mathbb{Z}/q\mathbb{Z}[/mm] und [mm]\zeta[/mm] sei eine primitive
> q-te Einheitswurzel in [mm]\mathbb{C}[/mm] und [mm]x\in Q\setminus\{0\}[/mm]
> fest gewählt.
>
> Behauptet wird, dass dann
>
> [mm]\sum_{y\in Q\setminus \{0\}} \zeta^{xy}=-1[/mm] gilt.
Die gleiche Frage habe ich in den letzten Tagen schon zweimal hier gesehen (und beantwortet).
LG Felix
|
|
|
|
