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| Aufgabe | Mit Hilfe der Summendarstellung für eine geometrische Reihe wandle man die folgenden periodischen Dezimalbrüche in rationale Zahlen um:
[mm] w_2 [/mm] = 0,373737... = [mm] 0,3\bar7 [/mm] |
Ich habe überhaupt gar keine Ahnung wie ich bei dieser Aufgabe ansetzen soll.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:17 So 27.04.2014 | | Autor: | fred97 |
> Mit Hilfe der Summendarstellung für eine geometrische
> Reihe wandle man die folgenden periodischen Dezimalbrüche
> in rationale Zahlen um:
>
> [mm]w_2[/mm] = 0,373737... = [mm]0,3\bar7[/mm]
Wie lautet [mm] w_2 [/mm] nun ?
[mm] $w_2 [/mm] =0,3 [mm] \overline{7}$ [/mm] oder [mm] $w_2 =0,\overline{37}$ [/mm] ?
Tipp:
[mm] $w_2 =0,\overline{37}$ =(\bruch{3}{10^1}+\bruch{3}{10^3}+\bruch{3}{10^5}+...)+(\bruch{7}{10^2}+\bruch{7}{10^4}+\bruch{7}{10^6}+.....)
[/mm]
FRED
> Ich habe überhaupt gar keine Ahnung wie ich bei dieser
> Aufgabe ansetzen soll.
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Vielen Dank für die schnelle Antwort. Ich habe mitlerweile herausgefunden dass man dezimalzahlen ein fach durch 99, 999 ... teilen muss um sie als Bruch zu schreiben, also wäre das ja hier [mm] \bruch{37}{99}.
[/mm]
Das was du mir geschrieben hast leuchtet mir ein, aber wie komme ich von diesem schritt auf meinen Bruch ? ... Ich soll die Aufgabe ja mit der Summenforrmel lösen, dann kann ich ja nicht einfach nur den bruch dahinter schreiben oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:27 So 27.04.2014 | | Autor: | Loddar |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Krümel!
> Das was du mir geschrieben hast leuchtet mir ein, aber wie
> komme ich von diesem schritt auf meinen Bruch ?
Durch Anwendung der Summenformel für geometrische Reihen.
Es gilt hier:
$... \ = \ \left(\bruch{3}{10^1}+\bruch{3}{10^3}+\bruch{3}{10^5}+...\right)+\left(\bruch{7}{10^2}+\bruch{7}{10^4}+\bruch{7}{10^6}+...\right) $
$= \ \bruch{3}{10}*\left(\bruch{1}{10^0}+\bruch{1}{10^2}+\bruch{1}{10^4}+...\right)+7*\left(\bruch{1}{10^2}+\bruch{1}{10^4}+\bruch{1}{10^6}+...\right) $
$= \ \bruch{3}{10}*\left[\left(\bruch{1}{100}\right)^0+\left(\bruch{1}{100}\right)^1+\left(\bruch{1}{100}\right)^2}+...\right]+7*\left[\left(\bruch{1}{100}\right)^1+\left(\bruch{1}{100}\right)^2+\left(\bruch{1}{100}\right)^3+...\right] $
$= \ \bruch{3}{10}*\summe_{k=0}^{\infty}\left(\bruch{1}{100}\right)^k+7*\summe_{n=1}^{\infty}\left(\bruch{1}{100}\right)^n $
Nun Du weiter ...
Gruß
Loddar
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Ich kann deinen Weg soweit nachvollziehen, danke dafür :D .... Aber ich hab trotzdem keinen blassen Schimmer wie ich jetzt weiter machen soll ... ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:20 So 27.04.2014 | | Autor: | fred97 |
> Ich kann deinen Weg soweit nachvollziehen, danke dafür :D
> .... Aber ich hab trotzdem keinen blassen Schimmer wie ich
> jetzt weiter machen soll ... ?
Summenformel für die geometrische Reihe !
FRED
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[mm] \summe_{i=0}^{\infty}p^{i}=\bruch{1-p^{n+1}}{1-p} [/mm]
Die hier ?
Falls ja weis ich dennoch nicht was die mir bringt, da meine summen ja nicht beide bei0 starten und ich das auch iwie nicht zusammenfassen kann...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:00 So 27.04.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo Kruemel,
> [mm]\summe_{i=0}^{\infty}p^{i}=\bruch{1-p^{n+1}}{1-p}[/mm]
> Die hier ?
Nein. ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Du bist nicht sorgfältig genug!
Es gilt:
[mm] \sum_{i=0}^{\infty}p^{i}=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=0}^{n}p^{i}=\lim_{n\to\infty}\frac{1-p^{n+1}}{1-p}=\frac{1}{1-p} [/mm] für alle $|p|<1$.
> Falls ja weis ich dennoch nicht was die mir bringt, da
> meine summen ja nicht beide bei0 starten und ich das auch
> iwie nicht zusammenfassen kann...
Es gilt:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\left(\bruch{1}{100}\right)^n=-1+\summe_{n=0}^{\infty}\left(\bruch{1}{100}\right)^n.
[/mm]
Gruß
DieAcht
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