Summenfkt. e. Potenzreihe < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:15 Mi 14.01.2009 | | Autor: | marcello |
| Aufgabe | Es sei f : I [mm] \to [/mm] R die Summenfunktion einer Potenzreihe mit I = (0, 4) und
f(x) = [mm] \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{k^{2}}{2^{k}} (x-2)^{k}
[/mm]
Man gebe folgende Werte an: f(2), f′(2) sowie f(10)(2). |
Ich brauche zu dieser Aufgabe einen heißen (wenn nicht sogar SEHR heißen) Tipp... ;)
Erst einmal zum allgemeinen Verständnis der Aufgabe: Ich soll im Prinzip das Verhalten der Potenzreihe nach mehrmaligen ableiten an der Stelle x=2 beobachten, oder?
Dazu muss ich die Potenzreihe in ein Taylorpolynom abändern und kann dann, wenn ich das Taylorpolynom kenne, damit an der Stelle x = 2 die Ableitungen bilden. Mein Problem ist nur, dass mir die Verknüpfung zwischen Potenzreihe und Taylorpolynom nicht klar wird.
Eine Potenzreihe hat die Form f(x) = [mm] \summe_{k=0}^{\infty} a_{k}(x-x_{0})^{k}. [/mm] Das Taylorpolynom sieht so aus: g(x) = [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{g^{(n)}(x_{0})}{n!} (x-x_{0})^{n} [/mm] mit [mm] b_{n} [/mm] = [mm] \bruch{f^{(n)}(x_{0})}{n!}
[/mm]
Die Verbindung wären also die Koeffizienten [mm] a_{k} [/mm] und [mm] b_{n}.
[/mm]
Aber wie bekomme ich jetzt die Potenzreihe in das Taylorpolynom um meine Ableitungen für meine Funktion f(x) bilden zu können...???
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich bin für jede Hilfe dankbar!!!
Gruß,
marcello
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Hallo marcello,
ich denke, Du verfährst besser ohne Taylorreihe. Du müsstest ja sonst erst einmal zeigen, dass Deine Umwandlung der Potenzreihe auch tatsächlich die Taylorreihe der Funktion ist, so dass Du aus den Koeffizienten tatsächlich den Funktionswert der betreffenden Ableitungen ablesen kannst. Das ist sicher möglich, aber m.E. unnötige Mühe.
Es ist hier doch einfach, die Summe gliedweise zu differenzieren.
> [mm] f(x)=\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{k^{2}}{2^{k}} (x-2)^{k}
[/mm]
>
> Man gebe folgende Werte an: f(2), f'(2) sowie [mm] f^{(10)}(2)
[/mm]
...
> Ich soll im Prinzip das Verhalten der Potenzreihe nach
> mehrmaligem Ableiten an der Stelle x=2 beobachten, oder?
Ja.
[mm] f(2)=\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{k^{2}}{2^{k}} (0)^{k}
[/mm]
Ein bisschen ärgerlich an der Definition der Summe ist ja, dass für k=0 jetzt ganz hinten [mm] 0^0 [/mm] steht, ein nicht definierter Ausdruck. Es zeigt sich aber immerhin, dass für x=2 die Funktion hier stetig ergänzbar ist durch f(2)=0. Das musst Du wohl noch zeigen...
Das gilt übrigens auch für alle Ableitungen. Vielleicht zeigst Du die Ergänzbarkeit besser gleich im Paket.
Bilden wir nun [mm] f'(x)=\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{k^{2}}{2^{k}} k(x-2)^{k-1}
[/mm]
Das ist wieder für x=2 nicht definiert, aber stetig ergänzbar durch [mm] f'(2)=\bruch{1^2*1}{2^1}=\bruch{1}{2}
[/mm]
Die zweite Ableitung: [mm] f''(x)=\summe_{k=2}^{\infty}\bruch{k^{2}}{2^{k}} k*(k-1)(x-2)^{k-2}
[/mm]
ergänzbar durch [mm] f''(2)=\bruch{2^2*2!}{2^2}=2
[/mm]
Die n-te Ableitung ist doch offenbar: [mm] f^{(n)}(x)=\summe_{k=n}^{\infty}\bruch{k^{2}}{2^{k}} \bruch{k!}{(k-n)!}(x-2)^{k-n}
[/mm]
ergänzbar durch [mm] f^{(n)}(2)=\bruch{n^2*n!}{2^n}
[/mm]
Versuch das mal nachzuvollziehen. Eigentlich besteht hier alles nur aus der gliedweisen Ableitung der Summe. Ich habe mich bemüht, eine Summenschreibweise zu wählen, die die Schritte erkennbar lässt.
lg,
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:16 Mi 14.01.2009 | | Autor: | marcello |
Hallo reverend!
Danke für deine schnelle Hilfe! Dafür schätze ich dieses Forum sehr!
Das gliedweise differenzieren von f(x) leuchtet mir ein. Bei der n-ten Ableitung [mm] f^{(n)}(x)=\summe_{k=n}^{\infty}\bruch{k^{2}}{2^{k}} \bruch{k!}{(k-n)!}(x-2)^{k-n} [/mm] bin ich mir noch bei [mm] \bruch{k!}{(k-n)!} [/mm] mit (k-n)! im Nenner unsicher. Wie kommst du auf "(k-n)!"? Etwa durch weiteres Ableiten, also (x-n)(x-n-1)(x-n-2)...=(x-n)! ? (ok, ich glaube, dass das die Lösung ist, aber ich bin zu faul zum löschen...). ;)
Ich habe verstanden, dass durch das Einsetzen von x=2 ein unbestimmter Ausdruck für k = 0 entsteht. Allerdings kann ich mir nichts unter "stetig ergänzbar" vorstellen. Du meinst quasi, dass der Teil vor (x-2) stetig ergänzbar ist? Aber dieser Teil wird doch trotzdem mit (x-2), für x=2 also 0, multipliziert und ist deshalb auch null, oder? Ich kann mir immer noch nicht wirklich vorstellen, wie ich auf meine Lösung kommen kann, denn eine Summe von k = n bis unendlich ist ja schwer auf eine genaue Zahl zu bringen. Gibt es da nicht eine Lösungsformel, die mir in etwa verrät wie meine Ableitung ausfällt?
Gruß,
marcello
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Hallo marcello,
> Danke für deine schnelle Hilfe! Dafür schätze ich dieses
> Forum sehr!
>
> Das gliedweise differenzieren von f(x) leuchtet mir ein.
> Bei der n-ten Ableitung
> [mm]f^{(n)}(x)=\summe_{k=n}^{\infty}\bruch{k^{2}}{2^{k}} \bruch{k!}{(k-n)!}(x-2)^{k-n}[/mm]
> bin ich mir noch bei [mm]\bruch{k!}{(k-n)!}[/mm] mit (k-n)! im
> Nenner unsicher. Wie kommst du auf "(k-n)!"? Etwa durch
> weiteres Ableiten, also (x-n)(x-n-1)(x-n-2)...=(x-n)! ?
> (ok, ich glaube, dass das die Lösung ist, aber ich bin zu
> faul zum löschen...). ;)
Durch n-maliges Ableiten steht da ja [mm] k*(k-1)*(k-2)*\cdots*(k-n+1). [/mm] Das schreibt man halt übersichtlicher als [mm] \bruch{k!}{(k-n)!}
[/mm]
> Ich habe verstanden, dass durch das Einsetzen von x=2 ein
> unbestimmter Ausdruck für k = 0 entsteht. Allerdings kann
> ich mir nichts unter "stetig ergänzbar" vorstellen. Du
> meinst quasi, dass der Teil vor (x-2) stetig ergänzbar ist?
Nein. Du untersuchst das Grenzwertverhalten für [mm] x\rightarrow2 [/mm] und findest linksseitig und rechtsseitig eine Konvergenz für die letzte Klammer [mm] (x-2)^{bla} [/mm] gegen 1. Das ist nicht selbstverständlich, es hätte alles sein können, allerdings am wahrscheinlichsten 0 oder 1. Der Rest in der Summe hängt ja nicht von x ab.
> Aber dieser Teil wird doch trotzdem mit (x-2), für x=2 also
> 0, multipliziert und ist deshalb auch null, oder?
Eben nicht für den Exponenten Null!
> Ich kann
> mir immer noch nicht wirklich vorstellen, wie ich auf meine
> Lösung kommen kann, denn eine Summe von k = n bis unendlich
> ist ja schwer auf eine genaue Zahl zu bringen.
Hier nicht, weil nur das erste Glied der Summe "stehenbleibt". Alle anderen enthalten den Faktor 0 wegen [mm] (x-2)^{k} [/mm] für [mm] k\ge1 [/mm] und brauchen also nicht berücksichtigt zu werden.
> Gibt es da
> nicht eine Lösungsformel, die mir in etwa verrät wie meine
> Ableitung ausfällt?
Ja, betrachte nur das erste Glied der Summation. Es enthält den Term [mm] 0^0. [/mm] Untersuche für [mm] x\rightarrow2 [/mm] den Grenzwert dieses Terms. Einsetzen, fertig.
> Gruß,
> marcello
lg,
reverend
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