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| Aufgabe | Leiten Sie die Summenformel einer endlichen arithmetischen Reihe <a1;a2; ... ; an> ab!
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Guten Tag,
mir fehlt leider schon der Ansatz, um diese Formel herzuleiten. Mir ist zwar die Herleitung der Summenformel nach Gauß bekannt, aber ich vermag sie nicht aus dieses Problem zu übertragen.
die mir bekannte Form der Formel lautet:
[mm] s_n [/mm] = [mm] \bruch{n+1}{2}*(a_0 [/mm] + [mm] a_n)
[/mm]
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:04 Fr 05.09.2008 | | Autor: | Teufel |
Hallo und willkommen hier!
Ok, nach Gauß war das ja so:
I) [mm] s_n=1+2+3+4+5+...+n
[/mm]
II) [mm] s_n=n+(n-1)+(n-2)+(n-3)+...+1
[/mm]
I)+II)
[mm] 2s_n=\underbrace{(n+1)+(n+1)+(n+1)+...+(n+1)}_{n-mal}
[/mm]
[mm] s_n=\bruch{n(n+1)}{2}
[/mm]
Und jetzt für den allgemeinen Fall einer arithmetischen Folge:
[mm] a_n=a_1+(n-1)d
[/mm]
I) [mm] s_n=a_1+(a_1+d)+(a_1+2d)+(a_1+3d)+...+(a_1+(n-1)d)
[/mm]
II) [mm] s_n=(a_1+(n-1)d)+(a_1+(n-2)d)+(a_1+(n-3)d)+...+a_1
[/mm]
I)+II) [mm] 2s_n=... [/mm] na, willst du es selbst versuchen? :)
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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also
I+II: [mm] (a_1+(a_1 [/mm] + (n-1)*d)) + [mm] ((a_1 [/mm] + d) + [mm] (a_1 [/mm] + (n - 2)*d) + ... + a1 + (a1 + (n-1)*d)
[mm] (a_1 [/mm] + (n - 1)*d) = [mm] a_n
[/mm]
aber: [mm] ((a_1 [/mm] + d) + [mm] (a_1 [/mm] + (n - 2)*d) ist nicht gleich [mm] a_n [/mm] oder?
wie gehts da dann weiter?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:12 Sa 06.09.2008 | | Autor: | chrisno |
> aber: [mm]((a_1[/mm] + d) + [mm](a_1[/mm] + (n - 2)*d) ist
lös mal die Klammern auf und sortiere das Ganze. Dann mach das auch mit dem nächsten Paar.
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also ergibt sich
I+II: [mm] (2a_1+(n-1)*d) [/mm] + [mm] (2a_1+(n-1)*d) [/mm] + [mm] (2a_1+(n-1)*d) [/mm] + ... + [mm] (2a_1+(n-1)*d)
[/mm]
okay, das hatte ich vorher auch, nur wie mache ich nun weiter, um auf [mm] s_n=(a_1+a_n)*n/2
[/mm]
zu kommen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:56 Sa 06.09.2008 | | Autor: | Teufel |
Hallo!
Genau, man kann immer zu [mm] 2a_1+(n-1)d [/mm] zusammenfassen. Insgesamt hast du n dieser Summanden (wie oben beim konkreten Beispiel).
I)+II) ist dann
[mm] 2s_n=(2a_1+(n-1)d)+(2a_1+(n-1)d)+...+(2a_1+(n-1)d)=n(2a_1+(n-1)d)
[/mm]
(du hast die linke Seite der Gleichung, [mm] s_n+s_n=2s_n, [/mm] vergessen!)
Und jetzt kannst du [mm] a_1+(n-1)d [/mm] noch durch [mm] a_n [/mm] ersetzen und bist eigentlich fertig :) nachdem du noch durch 2 geteilt hast.
Teufel
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Wir hatten das anderes abgeleitet, was aber egal ist, wenn du mir genau sagst, welche Überlegung hinter
I) $ [mm] s_n=1+2+3+4+5+...+n [/mm] $
II) $ [mm] s_n=n+(n-1)+(n-2)+(n-3)+...+1 [/mm] $
steckt.
[mm] Danke^2 [/mm] :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:45 Fr 05.09.2008 | | Autor: | Teufel |
Ach so, na ja, ich kenne auch andere Varianten, aber diese finde ich am besten, weil man damit ja dann auch gut eine allgemeine Summenformel herleiten kann.
Die Summe der ersten n natürlichen Zahlen kann man ja schreiben als
[mm] s_n=1+2+3+4+5+...+(n-2)+(n-1)+n
[/mm]
oder als
[mm] s_n=n+(n-1)+(n-2)+...+3+2+1, [/mm] also wie die 1. Gleichung, nur von der größten Zahl zur 1.
Beide Gleichungen stimmen also sozusagen, also kann ich die auch zusammen addieren und die Gleichung, die ich erhalte, stimmt dann auch.
Wenn ich die addiere, habe ich auf der linken Seite der Gleichung dann die [mm] 2s_n [/mm] und auf der rechten Seite kann ich den 1. Summanden der oberen Gleichung (1) und den 1. Summanden der unteren Gleichung (n) zu n+1 zusammenfassen. Den 2. Summanden der oberen Gleichung (2) und den 2. Summanden der unteren Gleichung (n-1) ergibt zusammen auch n+1.
Und das geht immer so weiter, bis ich diese Prozedur n mal gemacht habe, da es ja insgesamt n Summanden gibt.
Damit erhalte ich die [mm] 2s_n=n(n+1) [/mm] und daraus die endgültige Summenformel der ersten n natürlichen Zahlen!
Teufel
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