Summenformel ableiten? < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:54 Do 16.01.2014 | | Autor: | bandchef |
| Aufgabe | | Keine konkrete Aufgabe! |
Hi Leute! Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Kann man Summenformeln ableiten? Wenn ja, wie macht man das in diesem konkreten Beispiel: [mm] $\sum_{n=-\infty}^{\infty}\left| x(n) \right|^2$
[/mm]
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Hallo bandchef,
> Keine konkrete Aufgabe!
> Kann man Summenformeln ableiten?
Die Ableitung einer Summe von Funktionen ist die Summe der Ableitungen, egal wieviele Funktionen Du summierst.
> Wenn ja, wie macht man das
> in diesem konkreten Beispiel:
> [mm]\sum_{n=-\infty}^{\infty}\left| x(n) \right|^2[/mm]
Ich nehme an, hier soll nach $n$ abgeleitet werden, oder? Das wiederum erweist sich als schwierig, da $n$ ja Summationsindex ist und daher wohl nicht [mm] n\in\IR, [/mm] sondern [mm] n\in\IZ [/mm] anzunehmen ist. Ohne also mehr über die Funktion $x(n)$ zu wissen, kann man daher nichts allgemeines aussagen.
Ich nehme daher lieber ein anderes Beispiel.
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}(f(x))^n [/mm] soll nach [mm] \mathrm{dx} [/mm] abgeleitet werden.
Das ergibt [mm] \summe_{n=0}^{\infty}n*f'(x)*(f(x))^{n-1}=f'(x)*\summe_{n=1}^{\infty}n*(f(x))^{n-1}=f'(x)*\summe_{n=0}^{\infty}(n+1)(f(x))^n
[/mm]
Soweit klar?
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:12 Do 16.01.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo bandchef,
>
> > Keine konkrete Aufgabe!
> > Kann man Summenformeln ableiten?
>
> Die Ableitung einer Summe von Funktionen ist die Summe der
> Ableitungen, egal wieviele Funktionen Du summierst.
Hallo reverend,
bei endlichen Summen hast Du recht, bei unendlichen Reihen differenzierbarer Funktionen darf man i.a. nicht die Summation und die Differentiation vertauschen, es gilt also i.a. nicht:
[mm] (\summe_{i=1}^{\infty}f_i)'=\summe_{i=1}^{\infty}f_i'
[/mm]
Gruß FRED
>
> > Wenn ja, wie macht man das
> > in diesem konkreten Beispiel:
> > [mm]\sum_{n=-\infty}^{\infty}\left| x(n) \right|^2[/mm]
>
> Ich nehme an, hier soll nach [mm]n[/mm] abgeleitet werden, oder? Das
> wiederum erweist sich als schwierig, da [mm]n[/mm] ja
> Summationsindex ist und daher wohl nicht [mm]n\in\IR,[/mm] sondern
> [mm]n\in\IZ[/mm] anzunehmen ist. Ohne also mehr über die Funktion
> [mm]x(n)[/mm] zu wissen, kann man daher nichts allgemeines
> aussagen.
>
> Ich nehme daher lieber ein anderes Beispiel.
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}(f(x))^n[/mm] soll nach [mm]\mathrm{dx}[/mm]
> abgeleitet werden.
>
> Das ergibt
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}n*f'(x)*(f(x))^{n-1}=f'(x)*\summe_{n=1}^{\infty}n*(f(x))^{n-1}=f'(x)*\summe_{n=0}^{\infty}(n+1)(f(x))^n[/mm]
>
> Soweit klar?
>
> Grüße
> reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:32 Do 16.01.2014 | | Autor: | reverend |
Hallo Fred,
> > > Kann man Summenformeln ableiten?
> >
> > Die Ableitung einer Summe von Funktionen ist die Summe der
> > Ableitungen, egal wieviele Funktionen Du summierst.
>
> Hallo reverend,
>
> bei endlichen Summen hast Du recht, bei unendlichen Reihen
> differenzierbarer Funktionen darf man i.a. nicht die
> Summation und die Differentiation vertauschen, es gilt also
> i.a. nicht:
>
> [mm](\summe_{i=1}^{\infty}f_i)'=\summe_{i=1}^{\infty}f_i'[/mm]
Hmpf. Das hatten wir doch neulich schonmal.
Da hattest Du auch schon Recht. 
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:14 Do 16.01.2014 | | Autor: | bandchef |
Soweit ist das klar und deckt sich auch mit dem was ich vermutet habe.
Es ist jetzt so, dass diese Summe aus einer größeren Aufgabe stammt, von der ich den Grenzwert berechnen wollte.
Da es sich in diesem Kapitel um zeitdiskrete Signale handelt, ist ohne, dass es dort steht, davon auszugehen, dass aus $n [mm] \in \mathbb [/mm] N$ gilt.
Somit funktioniert die Ableitung hier ja nicht wie du gemeint hast, da ja die Variable nach der abgeleitet werden soll der Summationsindex ist.
Richtig?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:20 Do 16.01.2014 | | Autor: | fred97 |
> Soweit ist das klar und deckt sich auch mit dem was ich
> vermutet habe.
>
> Es ist jetzt so, dass diese Summe aus einer größeren
> Aufgabe stammt, von der ich den Grenzwert berechnen
> wollte.
>
> Da es sich in diesem Kapitel um zeitdiskrete Signale
> handelt, ist ohne, dass es dort steht, davon auszugehen,
> dass aus [mm]n \in \mathbb N[/mm] gilt.
>
> Somit funktioniert die Ableitung hier ja nicht wie du
> gemeint hast, da ja die Variable nach der abgeleitet werden
> soll der Summationsindex ist.
>
> Richtig?
Das hab ich ja hier
https://www.vorhilfe.de/read?i=1003957
geschrieben !
FRED
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:08 Do 16.01.2014 | | Autor: | fred97 |
> Keine konkrete Aufgabe!
> Hi Leute! Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Kann man Summenformeln ableiten?
Manchmal ja, manchmal nein.
Du musst Deine Frage schon präziser stellen !
> Wenn ja, wie macht man das
> in diesem konkreten Beispiel:
> [mm]\sum_{n=-\infty}^{\infty}\left| x(n) \right|^2[/mm]
Hier gibts nichts zum Ableiten. Ich vermute, Du hast eine Folge (x(n)) [mm] \in l^2. [/mm] Dann ist
[mm] ||(x(n))||_{l^2}^2=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\left| x(n) \right|^2
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:29 Do 16.01.2014 | | Autor: | bandchef |
Was soll den [mm] l^2 [/mm] sein??? das verstehe ich nicht.
Ehrlicherweise verstehe ich das $ [mm] ||(x(n))||_{l^2}^2=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\left| x(n) \right|^2 [/mm] $ ganze nicht.
Was soll der doppelte Betrag da? Mehr als Betrag geht doch nicht oder? Was sagt mir das tiefgestellte [mm] l^2?
[/mm]
Anscheinend ist hier nun diese Summe gleich dem Term den ich nicht verstehe. So lang ich aber nicht verstehe, was da steht, kann ich den Term auch nicht ableiten
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:30 Do 16.01.2014 | | Autor: | fred97 |
> Was soll den [mm]l^2[/mm] sein??? das verstehe ich nicht.
>
> Ehrlicherweise verstehe ich das
> [mm]||(x(n))||_{l^2}^2=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\left| x(n) \right|^2[/mm]
> ganze nicht.
>
> Was soll der doppelte Betrag da? Mehr als Betrag geht doch
> nicht oder? Was sagt mir das tiefgestellte [mm]l^2?[/mm]
>
> Anscheinend ist hier nun diese Summe gleich dem Term den
> ich nicht verstehe. So lang ich aber nicht verstehe, was da
> steht, kann ich den Term auch nicht ableiten
Solange Du nicht genauer verrätst, wo und aus welchem Zusammenhang Du $ [mm] \sum_{n=-\infty}^{\infty}\left| x(n) \right|^2 [/mm] $ her hast, kann ich Dir nicht helfen.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:34 Do 16.01.2014 | | Autor: | bandchef |
Dann guck mal hier: https://vorhilfe.de/read?t=1003944
Da steht die eigentliche Sache. Ich hab nur gemeint, dass ich vielleicht auch alleine auf den Zusammenhang komme, indem ich eben eine Grenzwertbetrachtung mache.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:40 Do 16.01.2014 | | Autor: | fred97 |
> Dann guck mal hier: https://vorhilfe.de/read?t=1003944
>
> Da steht die eigentliche Sache. Ich hab nur gemeint, dass
> ich vielleicht auch alleine auf den Zusammenhang komme,
> indem ich eben eine Grenzwertbetrachtung mache.
Dort wird behauptet:
$ P = [mm] \lim_{N \to \infty}\left( \frac{1}{2N+1}\sum^{N}_{n=-N} \left| x(n) \right|^2 \right) [/mm] =0$
Nun ist bekannt(?), dass der Grenzwert [mm] \lim_{N \to \infty}\sum^{N}_{n=-N} \left| x(n) \right|^2 \right [/mm] existiert. Nennen wir ihn $L$. Wegen [mm] \lim_{N \to \infty}\frac{1}{2N+1}=0
[/mm]
Dann ist $P=0*L=0$
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:39 Fr 17.01.2014 | | Autor: | bandchef |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Du sagst, dass $ \lim_{N \to \infty}\sum^{N}_{n=-N} \left| x(n) \right|^2 \right $ gilt. Das würde aber doch bedeuten, dass man den Limes hier dann auch so schreiben dürfte:
$ P = \lim_{N \to \infty}\left( \frac{1}{2N+1} \right) \cdot \lim_{N\to \infty} \left( \sum^{N}_{n=-N} \left| x(n) \right|^2 \right) = ? $
Der erste Grenzwert geht gegen 0; das ist klar. Vom zweiten nehmen wir mit L an, dass einer bekannt ist. Dann hätten wir in der Tat P=0. Aber eigentlich steht doch da: $P = \lim_{N \to \infty}\frac{\sum^{N}_{n=-N} \left| x(n) \right|^2}{2N+1}}$. Dann hätte ich wohl wieder den bekannten und festen Grenzwert L geteilt durch den unendlichen Grenzwert ergäbe 0. Aber darf man das so?
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Hallo,
> Du sagst, dass [mm]\lim_{N \to \infty}\sum^{N}_{n=-N} \left| x(n) \right|^2 \right[/mm] gilt.
Was soll das denn bedeuten? "Es gilt ein Term?!?!"
Das ist sprachlicher Unfug!
> Das würde aber doch bedeuten, dass man den Limes
> hier dann auch so schreiben dürfte:
>
> [mm]P = \lim_{N \to \infty}\left( \frac{1}{2N+1} \right) \cdot \lim_{N\to \infty} \left( \sum^{N}_{n=-N} \left| x(n) \right|^2 \right) = ?[/mm]
Ja, das gilt nach den GW-Sätzen
Wenn [mm] $\lim\limits_{n\to\infty}a_n$ [/mm] und [mm] $\lim\limits_{n\to\infty}b_n$ [/mm] existieren, so ist der Grenzwert des Produktes [mm] $a_n\cdot{}b_n [/mm] \ $ = dem Produkt der Einzelgrenzwerte
>
> Der erste Grenzwert geht gegen 0; das ist klar. Vom zweiten
> nehmen wir mit L an, dass einer bekannt ist. Dann hätten
> wir in der Tat P=0. Aber eigentlich steht doch da: [mm]P = \lim_{N \to \infty}\frac{\sum^{N}_{n=-N} \left| x(n) \right|^2}{2N+1}}[/mm]. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Jo, das ist nur andes geschrieben ...
> Dann hätte ich wohl wieder den bekannten und festen
> Grenzwert L geteilt durch den unendlichen Grenzwert ergäbe
> 0. Aber darf man das so?
Jo
Gruß
schachuzipus
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