Summenformel für geom. Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:39 Di 04.06.2013 | | Autor: | hase-hh |
| Aufgabe | Eine Folge beginnt mit den Folgegliedern
[mm] \bruch{4}{7} [/mm]
[mm] \bruch{8}{35} [/mm]
[mm] \bruch{16}{175}
[/mm]
Stellen Sie diese Folge mithilfe des Summenzeichens dar. |
Moin,
also hier handelt es sich offensichtlich um eine geometrische Folge
[mm] a_{n+1} [/mm] = [mm] a_{n}*q
[/mm]
[mm] a_{1} [/mm] = [mm] \bruch{4}{7} [/mm] q = [mm] \bruch{2}{5}
[/mm]
Aber wie kann ich diese mit dem Summenzeichen darstellen?
Danke & Gruß
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Hallo hase-hh,
das ist eine der schwachsinnigsten Aufgaben, die ich in den letzten Jahren gelesen habe. Ich nahme an, dass Du dafür nichts kannst. Sei froh...
> Eine Folge beginnt mit den Folgegliedern
>
> [mm]\bruch{4}{7}[/mm]
>
> [mm]\bruch{8}{35}[/mm]
>
> [mm]\bruch{16}{175}[/mm]
>
>
> Stellen Sie diese Folge mithilfe des Summenzeichens dar.
Schon das ist eine super Idee. Jedenfalls, wenn man über Reihen redet. 
> Moin,
Jo, moin!
> also hier handelt es sich offensichtlich um eine
> geometrische Folge
Na, es gäbe etwa unendlich viele andere Deutungen. Aber suchen wir mal nach dem Erwartunghorizont des Aufgabenstellers. Offenbar ein beschränkter Horizont.
> [mm]a_{n+1}[/mm] = [mm]a_{n}*q[/mm]
>
> [mm]a_{1}[/mm] = [mm]\bruch{4}{7}[/mm] q = [mm]\bruch{2}{5}[/mm]
Wunderbar. Das passt. Die anderen paar Billiarden Möglichkeiten ignorieren wir einfach mal.
> Aber wie kann ich diese mit dem Summenzeichen darstellen?
Du hast hier (nach Deiner Vermutung) [mm] a_n=\bruch{4}{7}*\left(\bruch{2}{5}\right)^{n-1}.
[/mm]
Jetzt berechne mal ganz allgemein [mm] a_{n+1}-a_n [/mm] und denk dann über Teleskopsummen nach...
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:22 Di 04.06.2013 | | Autor: | hase-hh |
Moin,
> > Aber wie kann ich diese mit dem Summenzeichen darstellen?
>
> Du hast hier (nach Deiner Vermutung)
> [mm]a_n=\bruch{4}{7}*\left(\bruch{2}{5}\right)^{n-1}.[/mm]
> Jetzt berechne mal ganz allgemein [mm]a_{n+1}-a_n[/mm] und denk dann
> über Teleskopsummen nach...
>
> Grüße
> reverend
d.h.... ich möchte das Ganze mit dem Summenzeichen darstellen.
[mm] \summe_{k=0}^{\infty} a_0*q^k [/mm] = [mm] \bruch{a_0}{1 - q}
[/mm]
bzw.
[mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{4}{7}*\bruch{2}{5}^k [/mm] = [mm] \bruch{\bruch{4}{7}}{1 - \bruch{2}{5}}
[/mm]
Ist das richtig?
Danke & Gruß!
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Hallo,
du suchst eine Folge und keine Reihe.
Der Beginn wäre also:
[mm] a_n=\summe_{i=1}^{n}...
[/mm]
Nun brauchst du also nur noch den Term für ... zu bestimmen ;)
Es sollte wohl auffallen:
[mm] 2^2=4
[/mm]
[mm] 2^3=8
[/mm]
[mm] 2^4=16
[/mm]
und
[mm] 7*5^0=7
[/mm]
[mm] 7*5^1=35
[/mm]
[mm] 7*5^2=175
[/mm]
Erkennst du die Zusammenhänge?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:34 Di 04.06.2013 | | Autor: | hase-hh |
Moin,
es ist mir eigentlich ziemlich wurscht, ob Du es Folge oder Reihe nennst.
Das Bildungsgesetz der Folge (ich bleibe mal dabei) ist doch schon klar gewesen.
Nein, ich erkenne in Deinen Ausführungen keinerlei Zusammenhänge.
Meine Frage war eine andere.
[mm] \summe_{k=0}^{\infty} a_{0}*q^k [/mm] = [mm] a_{0}*\bruch{1}{1-q} [/mm]
... also hier [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{4}{7}*(\bruch{2}{5})^k [/mm] = [mm] \bruch{4}{7}*\bruch{1}{1- \bruch{2}{5}} [/mm]
Ist das richtig?
Wie gehe ich sonst vor?
Danke & Gruß
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> Moin,
>
> es ist mir eigentlich ziemlich wurscht, ob Du es Folge
> oder Reihe nennst.
>
> Das Bildungsgesetz der Folge (ich bleibe mal dabei) ist
> doch schon klar gewesen.
Nagut.
Wie lautet die Folge dann?
>
> Nein, ich erkenne in Deinen Ausführungen keinerlei
> Zusammenhänge.
>
> Meine Frage war eine andere.
>
>
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} a_{0}*q^k[/mm] =
> [mm]a_{0}*\bruch{1}{1-q}[/mm]
>
>
> ... also hier [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{4}{7}*(\bruch{2}{5})^k[/mm]
> = [mm]\bruch{4}{7}*\bruch{1}{1- \bruch{2}{5}}[/mm]
ja, die Rechnung ist richtig.
Damit hast du quasi einen Grenzwert berechnet.
>
>
> Ist das richtig?
Wenn ich die Aufgabe interpretieren soll, dann würde ich es eben anders machen.
Wenn ich mir das so anschaue, dann will dein Prof eine Folge von Summen sehen, und zwar so, dass gilt:
[mm] s_1=\summe_{i=1}^{1}a_i=4/7
[/mm]
[mm] s_2=\summe_{i=1}^{2}a_i=8/35
[/mm]
[mm] s_3=\summe_{i=1}^{3}a_i=16/175
[/mm]
...
[mm] s_n=\summe_{i=1}^{n}a_i=...
[/mm]
Ist das etwa nicht gewollt?
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