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Die Summenformel für die ungeraden Zahlen lautet:
[mm] \summe_{k=m}^{n} [/mm] k = (2k-1) = [mm] n^2
[/mm]
Die dazugehörige Aussage ist:
Werden die ersten ungeraden ganzen Zahlen zusammengezählt, lassen sich die Summanden stehts als Quadratzahl darstellen.
Versuch:
1 = 1 = [mm] 1^2
[/mm]
1+3 = 4 = [mm] 2^2
[/mm]
1+3+5 = 9 = [mm] 3^2
[/mm]
...
Die Frage die ich mir hierbei stelle ist, was ist "k" in der Summenformel.
Ich löse einfach auf und stelle für die ersten 4 Quadratzahlen (1-4 zum Quadrat) fest:
[mm] \summe_{k=m}^{n} [/mm] (2k-1) = [mm] n^2 [/mm] = [mm] 1^2 [/mm] , k=1
[mm] \summe_{k=m}^{n} [/mm] (2k-1) = [mm] n^2 [/mm] = [mm] 2^2 [/mm] , k=2,5
[mm] \summe_{k=m}^{n} [/mm] (2k-1) = [mm] n^2 [/mm] = [mm] 3^2 [/mm] , k=5
[mm] \summe_{k=m}^{n} [/mm] (2k-1) = [mm] n^2 [/mm] = [mm] 4^2 [/mm] , k=8,5
Hab ich das falsch aufgelöst oder was ist da los? Ich denke "k" ist eine ungerade ganze Zahl und zwar die letzte in der Reihe der zusammengezählten ganzen ungeraden Zahlen bei 1 beginnend.
Außerdem interessiert mich die Funktionsweise von (2k-1), was mir hoffentlich klar wird wenn ich weis was "k" ist. Momentan kann ich aus diesem Term nur schließen, dass egal welche ganze Zahl ich einsetze mit "-1" immer eine ungerade rauskommen muss da das doppelte einer geraden/ungeraden immer eine gerade Zahl ist.
Vielen Dank im Voraus.
SM
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Hallo Semimathematiker!
$k_$ ist die interne (Zähl-)Variable innerhalb der Summe.
Leider ist Deine Darstellung nicht korrekt. Die Summe der ersten $n_$ ungeraden Zahlen beschreibt man mit:
[mm] $$\summe^{n}_{k=\red{1}}(2k-1) [/mm] \ = \ [mm] n^2$$
[/mm]
Damit gilt nun exemplarisch:
[mm] $$\summe_{k=1}^{1}(2k-1) [/mm] \ = \ (2*1-1) \ = \ 1 \ = \ [mm] 1^2$$
[/mm]
[mm] $$\summe_{k=1}^{2}(2k-1) [/mm] \ = \ (2*1-1)+(2*2-1) \ = \ 1+3 \ = \ 4 \ = \ [mm] 2^2$$
[/mm]
[mm] $$\summe_{k=1}^{3}(2k-1) [/mm] \ = \ [mm] \underbrace{(2*1-1)}_{k=1}+\underbrace{(2*2-1)}_{k=2}+\underbrace{(2*3-1)}_{k=3} [/mm] \ = \ 1+3+5 \ = \ 9 \ = \ [mm] 3^2$$
[/mm]
usw.
Die allgemeine Gültigkeit dieser Formel kann man dann beweisen mittels vollständiger Induktion.
Gruß vom
Roadrunner
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:24 Di 13.10.2009 | | Autor: | fred97 |
> Außerdem interessiert mich die Funktionsweise von (2k-1),
> was mir hoffentlich klar wird wenn ich weis was "k" ist.
> Momentan kann ich aus diesem Term nur schließen, dass egal
> welche ganze Zahl ich einsetze mit "-1" immer eine ungerade
> rauskommen muss da das doppelte einer geraden/ungeraden
> immer eine gerade Zahl ist.
Na also ! Menge der ungeraden natürlichen Zahlen = { 2k-1: k [mm] \in \IN [/mm] }
FRED
>
> Vielen Dank im Voraus.
> SM
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Vielen Dank für die Darstellung. Damit ist geklärt was k ist.
Viele Grüße
SM
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