Summenrechnung mit Matrizen < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:49 Di 15.10.2013 | | Autor: | BooWseR |
| Aufgabe | Seien n, m [mm] \in \IN [/mm] und A eine quadratische Matrix mit m Zeilen und Spalten, dann gilt:
[mm] (\summe_{k=0}^{n}A^{k})(E [/mm] - A) = (E - [mm] A^{n+1})
[/mm]
Hierbei ist [mm] A^{0} [/mm] = E die Einheitsmatrix mit Einsen in der Diagonale und Nullen sonst.
Wie läßt sich die Formel interpretieren, wenn (E - [mm] A)^{-1} [/mm] existiert? |
Entschuldigt, falls ich den Betreff falsch gewählt hab, mir fiel nur nichts anderes ein.
Ich kann zwar mit Matrizen rechnen, aber da hört es schon auf. Solch abstrakte Gebilde hatte ich beim Abi leider nicht und sind jetzt auf der HS absolutes Neuland. Im Grunde weiß ich nicht mal was ich in dieser Aufgabe machen soll. Und nach Hilfe googlen kann ich leider auch nicht, da ich nicht mal weiß wie die Art von Aufgaben heißen.
Wäre echt super wenn mir jemand das Thema ein wenig näher bringt indem er mir erklärt was man hier wie machen muss.
Vielen Dank im Vorraus,
Felix
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:59 Di 15.10.2013 | | Autor: | BooWseR |
Kann leider die Aufgabe z.Z. nicht ändern, darum so:
Mir ist ein Tippfehler unterlaufen. Es soll nicht heißen +a sondern +1, also [mm] A^{n+1}
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:22 Di 15.10.2013 | | Autor: | chrisno |
Bitteschön
|
|
|
| |
|
Hallo,
ja, was man nun mit "Interpretation der Formel" verstehen soll, weiß ich auch nicht.
Aber die Struktur der Formel sollte dir durchaus bekannt vorkommen. Ich erwähne nur einmal die geometrische Reihe, oder in diesem Fall die n-te Partialsumme dieser Reihe:
[mm] s_n=\sum_{k=0}^{n}q^k=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}
[/mm]
Na, nun überlege man mal, was die 1 und was das q bedeutet...
Warum wird nun also gefordert, dass [mm] (E-A)^{-1} [/mm] gefordert?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:40 Di 15.10.2013 | | Autor: | BooWseR |
Ich würde ja einfach sagen, dass die Reihe sich umkehrt und ins negative geht. Aber das klingt mir doch sehr banal.
Geometrische Reihe und Partialsummen sind mir zumindest vom Begriff fremd, wobei ich zumindest mit den Partialsummen nach ausführlicher Recherche etwas anfangen kann.
|
|
|
| |
|
Hallo,
ja, kann man denn eine Matrix durch eine Matrix teilen? Gibt es also die Division A/B zweier Matrizen? Nö! Ist aber B invertierbar, so kann man immerhin [mm] A*B^{-1} [/mm] berechnen - dies kommt dann der "Division" gleich.
Beachtet man diesen Fakt, dann kommt die dir gegebene Formel der Partialsumme der geometrischen Reihe doch schon sehr sehr nahe... nicht wahr?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:32 Mi 16.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Felix und herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !
> Seien n, m [mm]\in \IN[/mm] und A eine quadratische Matrix mit m
> Zeilen und Spalten, dann gilt:
>
> [mm](\summe_{k=0}^{n}A^{k})(E[/mm] - A) = (E - [mm]A^{n+1})[/mm]
>
> Hierbei ist [mm]A^{0}[/mm] = E die Einheitsmatrix mit Einsen in der
> Diagonale und Nullen sonst.
> Wie läßt sich die Formel interpretieren, wenn (E -
> [mm]A)^{-1}[/mm] existiert?
>
> Entschuldigt, falls ich den Betreff falsch gewählt hab,
> mir fiel nur nichts anderes ein.
Der Betreff passt gut!
> Ich kann zwar mit Matrizen rechnen, aber da hört es schon
> auf. Solch abstrakte Gebilde hatte ich beim Abi leider
> nicht und sind jetzt auf der HS absolutes Neuland. Im
> Grunde weiß ich nicht mal was ich in dieser Aufgabe machen
> soll. Und nach Hilfe googlen kann ich leider auch nicht, da
> ich nicht mal weiß wie die Art von Aufgaben heißen.
>
> Wäre echt super wenn mir jemand das Thema ein wenig näher
> bringt indem er mir erklärt was man hier wie machen muss.
Das Schöne ist, dass viele Rechenregeln für die reellen Zahlen auch für Matrizen gelten.
(Die wohl wichtigste Ausnahme: Es gilt im Allgemeinen [mm] $A*B\not=B*A$ [/mm] für quadratische Matrizen $A$ und $B$.)
Außer diesen Rechenregeln benötigst du noch das Wissen, dass $E*B=B*E=B$ für alle quadratischen Matrizen $B$ mit m Zeilen und m Spalten gilt und die Definition [mm] $A^0:=E$.
[/mm]
Starte also mit
[mm] $(\summe_{k=0}^{n}A^{k})(E [/mm] - [mm] A)=(A^0+A^1+\ldots+A^n)*(E-A)=\ldots$
[/mm]
und rechne mithilfe der Rechenregeln analog zu denen der reellen Zahlen los.
Viele Grüße
Tobias
|
|
|
|
