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Summenschreibweise: Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:16 So 03.02.2019
Autor: magics

Aufgabe
Gegeben seien n endliche Mengen [mm] $A_1, [/mm] ..., [mm] A_n$. [/mm] Sei [mm] $S_r [/mm] := [mm] \summe_{1 \le i_1 \le i_2 \le ... \le i_r \le i_n}^{} |A_{i_1} \cap [/mm] ... [mm] \cap A_{i_r}|$ [/mm]



Hallo,

ich scheitere daran, wie man den (genau so auf dem Papier stehenden) Ausdruck $ [mm] \summe_{1 \le i_1 \le i_2 \le ... \le i_r \le i_n}^{}$ [/mm] liest. Ich weiß, dass [mm] $\summe_{k=m}^{n} [/mm] = [mm] \summe_{m \le k \le n}^{}$ [/mm]

Ich vermute, dass es so viel bedeutet wie "bei r=3 läuft der Index der Summe von 1 nach 2 nach 3".

[mm] $S_1 [/mm] = [mm] |A_1|$ [/mm]
[mm] $S_2 [/mm] = [mm] |A_1| [/mm] + [mm] |A_1 \cap A_2|$ [/mm]
[mm] $S_3 [/mm] = [mm] |A_1| [/mm] + [mm] |A_1 \cap A_2| [/mm] + [mm] |A_1 \cap A_2 \cap A_3|$ [/mm]
[mm] $S_4 [/mm] = [mm] |A_1| [/mm] + [mm] |A_1 \cap A_2| [/mm] + [mm] |A_1 \cap A_2 \cap A_3| [/mm] + [mm] |A_1 \cap A_2 \cap A_3 \cap A_4|$ [/mm]
[mm] $S_5 [/mm] = ...$ und so fort

Kommt das hin?

Grüße
Thomas

        
Bezug
Summenschreibweise: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:18 Mo 04.02.2019
Autor: Marc

Hallo magics,

> Gegeben seien n endliche Mengen [mm]A_1, ..., A_n[/mm]. Sei [mm]S_r := \summe_{1 \le i_1 \le i_2 \le ... \le i_r \le i_n}^{} |A_{i_1} \cap ... \cap A_{i_r}|[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)



Müsste das nicht $1 \le i_1 \le i_2 \le ... \le i_r \le \red{n}$ statt ${1 \le i_1 \le i_2 \le ... \le i_r \le \red{i_n}$ lauten?

(Und evtl. auch sogar $1 \le i_1 \red{<} i_2 \red{<}\ldots\red{<} i_r \le n$? Meine Antwort ist allerdings nur für $1 \le i_1 \le i_2 \le ... \le i_r \le \red{n}$.)

> ich scheitere daran, wie man den (genau so auf dem Papier
> stehenden) Ausdruck [mm]\summe_{1 \le i_1 \le i_2 \le ... \le i_r \le i_n}^{}[/mm]
> liest. Ich weiß, dass [mm]\summe_{k=m}^{n} = \summe_{m \le k \le n}^{}[/mm]
>  
> Ich vermute, dass es so viel bedeutet wie "bei r=3 läuft
> der Index der Summe von 1 nach 2 nach 3".

Nein, r ist die Anzahl der Mengen, die an den Schnitten beteiligt sein sollen. Dies siehst du an dem Ausdruck $ [mm] |A_{i_\red{1}} \cap \ldots \cap A_{i_\red{r}}|$ [/mm] (beachten die kleinen roten Indices). Das sind r Indices der Menge [mm] $\{1,\ldots,n\}$, [/mm] und wegen $1 [mm] \le i_1 \le i_2 \le [/mm] ... [mm] \le i_r \le [/mm] n$ der Größe nach sortiert (da der Formelbauer nicht wollte, dass z.B. [mm] $A_1\cap A_2$ [/mm] mehrfach betrachtet wird, denn [mm] $A_1\cap A_2=A_2\cap A_1$) [/mm]

Z.B. ist für r=2 (und n=3)

[mm] $S_2=|A_1\cap A_1|+|A_1\cap A_2|+|A_1\cap A_3|+|A_2\cap A_2|+|A_2\cap A_3|+|A_3\cap A_3|$ [/mm]

>  
> [mm]S_1 = |A_1|[/mm]
>  [mm]S_2 = |A_1| + |A_1 \cap A_2|[/mm]
>  [mm]S_3 = |A_1| + |A_1 \cap A_2| + |A_1 \cap A_2 \cap A_3|[/mm]
>  
> [mm]S_4 = |A_1| + |A_1 \cap A_2| + |A_1 \cap A_2 \cap A_3| + |A_1 \cap A_2 \cap A_3 \cap A_4|[/mm]
>  
> [mm]S_5 = ...[/mm] und so fort
>  
> Kommt das hin?

Nein, siehe mein Beispiel oben.

Viele Grüße
Marc

Bezug
                
Bezug
Summenschreibweise: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:50 Mo 04.02.2019
Autor: magics

Hallo Marc,

> Müsste das nicht [mm]1 \le i_1 \le i_2 \le ... \le i_r \le \red{n}[/mm]
> statt [mm]{1 \le i_1 \le i_2 \le ... \le i_r \le \red{i_n}[/mm]
> lauten?

In der Tat, da hab ich mich beim notieren vertan..

> (Und evtl. auch sogar [mm]1 \le i_1 \red{<} i_2 \red{<}\ldots\red{<} i_r \le n[/mm]?

In der Formel steht es explizit mit [mm] $\le$. [/mm] Allerdings macht es, wenn ich dich richtig verstanden habe, wirklich keinen Sinn, da [mm] $|A_i \cap A_i| [/mm] = [mm] |\emptyset| [/mm] = 0$. Man könnte sich die leeren in der Summe also sparen, würde man die Ordnungsrelation $<$ benutzen.

> Nein, r ist die Anzahl der Mengen, die an den Schnitten
> beteiligt sein sollen. Dies siehst du an dem Ausdruck
> [mm]|A_{i_\red{1}} \cap \ldots \cap A_{i_\red{r}}|[/mm] (beachten
> die kleinen roten Indices). Das sind r Indices der Menge
> [mm]\{1,\ldots,n\}[/mm], und wegen [mm]1 \le i_1 \le i_2 \le ... \le i_r \le n[/mm]
> der Größe nach sortiert (da der Formelbauer nicht wollte,
> dass z.B. [mm]A_1\cap A_2[/mm] mehrfach betrachtet wird, denn
> [mm]A_1\cap A_2=A_2\cap A_1[/mm])
>  
> Z.B. ist für r=2 (und n=3)
>  
> [mm]S_2=|A_1\cap A_1|+|A_1\cap A_2|+|A_1\cap A_3|+|A_2\cap A_2|+|A_2\cap A_3|+|A_3\cap A_3|[/mm]

Wunderbar! Ich halte nochmal fest für den Fall $r=2, n=3$:

[mm] $S_2 [/mm] := [mm] \summe_{1 \le i_1 \le i_2 \le 2}^{} |A_{i_1} \cap A_{i_2}|$ [/mm]

Man könnte also in Anlehnung an die Notation [mm] $\summe_{m \le k \le n}^{}$ [/mm] sagen, dass es für $r=2$ eben zwei Indices [mm] $i_1, i_2$ [/mm] gibt, wobei diese durch die Ordnungsrelation [mm] $\le$ [/mm] eingeschränkt werden.

Auf jeden Fall schonmal ein großes Dankeschön!

Grüße
Thomas


Bezug
                        
Bezug
Summenschreibweise: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:34 Mo 04.02.2019
Autor: fred97


> Hallo Marc,
>  
> > Müsste das nicht [mm]1 \le i_1 \le i_2 \le ... \le i_r \le \red{n}[/mm]
> > statt [mm]{1 \le i_1 \le i_2 \le ... \le i_r \le \red{i_n}[/mm]
> > lauten?
>
> In der Tat, da hab ich mich beim notieren vertan..
>  
> > (Und evtl. auch sogar [mm]1 \le i_1 \red{<} i_2 \red{<}\ldots\red{<} i_r \le n[/mm]?
>
> In der Formel steht es explizit mit [mm]\le[/mm]. Allerdings macht
> es, wenn ich dich richtig verstanden habe, wirklich keinen
> Sinn, da [mm]|A_i \cap A_i| = |\emptyset| = 0[/mm].

Das stimmt aber nicht ! Es ist [mm] A_i \cap A_i=A_i. [/mm]

Daher ist " [mm] \le [/mm] " korrekt !


> Man könnte sich
> die leeren in der Summe also sparen, würde man die
> Ordnungsrelation [mm]<[/mm] benutzen.
>  
> > Nein, r ist die Anzahl der Mengen, die an den Schnitten
> > beteiligt sein sollen. Dies siehst du an dem Ausdruck
> > [mm]|A_{i_\red{1}} \cap \ldots \cap A_{i_\red{r}}|[/mm] (beachten
> > die kleinen roten Indices). Das sind r Indices der Menge
> > [mm]\{1,\ldots,n\}[/mm], und wegen [mm]1 \le i_1 \le i_2 \le ... \le i_r \le n[/mm]
> > der Größe nach sortiert (da der Formelbauer nicht wollte,
> > dass z.B. [mm]A_1\cap A_2[/mm] mehrfach betrachtet wird, denn
> > [mm]A_1\cap A_2=A_2\cap A_1[/mm])
>  >  
> > Z.B. ist für r=2 (und n=3)
>  >  
> > [mm]S_2=|A_1\cap A_1|+|A_1\cap A_2|+|A_1\cap A_3|+|A_2\cap A_2|+|A_2\cap A_3|+|A_3\cap A_3|[/mm]
>  
> Wunderbar! Ich halte nochmal fest für den Fall [mm]r=2, n=3[/mm]:
>  
> [mm]S_2 := \summe_{1 \le i_1 \le i_2 \le 2}^{} |A_{i_1} \cap A_{i_2}|[/mm]
>  
> Man könnte also in Anlehnung an die Notation [mm]\summe_{m \le k \le n}^{}[/mm]
> sagen, dass es für [mm]r=2[/mm] eben zwei Indices [mm]i_1, i_2[/mm] gibt,
> wobei diese durch die Ordnungsrelation [mm]\le[/mm] eingeschränkt
> werden.
>  
> Auf jeden Fall schonmal ein großes Dankeschön!
>  
> Grüße
>  Thomas
>  


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