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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:32 Sa 13.03.2010 | | Autor: | melisa1 |
| Aufgabe | Man berechne die Summe der Reihe
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch {1}{4n^2-1}
[/mm]
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Hallo,
ich habe die Lösung zu dieser Aufgabe, aber versteh sie nicht so ganz.
Man hat angefangen, mit einer Zerlegung (warum macht man das?)
Hier versteh ich nicht, warum die eins im Zähler zu einer 2 wird?
[mm] \bruch{2}{(4n^2-1)}= \bruch{2}{((2n-1)(2n+1))}= \bruch{1}{(2n-1)}- \bruch{1}{2n+1}
[/mm]
Also ist
[mm] s_{k}:=\summe_{n=1}^{k}\bruch {1}{4n^2-1}= [/mm]
(nun wird die Zerlegung eingesetzt, aber woher kommt die 1/2?)
[mm] \bruch{1}{2}(\summe_{n=1}^{k} \bruch{1}{2n-1}- \summe_{n=1}^{k}\bruch{1}{2n+1})= \bruch{1}{2}(\summe_{n=1}^{k-1}\bruch{1}{2n+1}- \summe_{n=1}^{k}\bruch{1}{2n+1})=
[/mm]
(hier verstehe ich nun nicht, wie aus [mm] \summe_{n=1}^{k-1}\bruch{1}{2n+1} [/mm] eine 1 wird)
[mm] =\bruch{1}{2}(1-\bruch{1}{2k+1}) [/mm]
Daher gilt= [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch {1}{4n^2-1}=\limes_{k\rightarrow\infty}s_{k}=1/2 [/mm]
was ist mit der Klammer?
Ich würde mich sehr freuen, wenn mir jemand diese Fragen beantworten könnte und bedanke mich im voraus.
Liebe Grüße Melisa
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:01 Sa 13.03.2010 | | Autor: | uliweil |
> Man berechne die Summe der Reihe
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch {1}{4n^2-1}[/mm]
>
Hallo Melisa,
die unten angegebene Lösung enthält einige "fiese Tricks", deren Rechtfertigung oft nur in der lapidaren Begründung "weil es so klappt" zu finden ist. Wir wollen mal zusammen versuchen die Zaubereien des Aufgabenlösers zu durchschauen:
> Hallo,
>
> ich habe die Lösung zu dieser Aufgabe, aber versteh sie
> nicht so ganz.
>
> Man hat angefangen, mit einer Zerlegung (warum macht man
> das?)
>
Das ist schon so ein Trick. Der tiefere Grund dafür ist die Möglichkeit durch weiteres Umformen eine drastische Vereinfachung zu erhalten, wie wir gleich sehen werden. (Wie man darauf kommt? Ein Professor der theoretischen Physik sagte einmal in einer Vorlesung der Elektrodynamik nach Herleitung der Maxwellschen Gleichungen: "Um draufzukommen müsste man Maxwell sein.")
> Hier versteh ich nicht, warum die eins im Zähler zu einer
> 2 wird?
Sie wird gar nicht, der Aufgabenlöser hat lediglich im Blick, dass er die 2 gleich braucht um kein 1/2 hinschreiben zu müssen, denn sonst hätte die Umformung so ausgesehen:
[mm] \bruch{1}{(4n^2-1)}= \bruch{1}{((2n-1)(2n+1))}= \bruch{\bruch{1}{2}}{(2n-1)}- \bruch{\bruch{1}{2}}{2n+1}
[/mm]
Wahrscheinlich hat der Aufgabenlöser auch mit der 1 angefangen und später erst gemerkt, dass es mit der 2 besser aussieht - aber das wird sich noch rächen. Wichtig ist erst mal, dass die Umformung richtig ist, und das ist sie.
> [mm]\bruch{2}{(4n^2-1)}= \bruch{2}{((2n-1)(2n+1))}= \bruch{1}{(2n-1)}- \bruch{1}{2n+1}[/mm]
>
> Also ist
>
> [mm]s_{k}:=\summe_{n=1}^{k}\bruch {1}{4n^2-1}=[/mm]
> (nun wird die Zerlegung eingesetzt, aber woher kommt die
> 1/2?)
Da ist die Rache schon. Mit der 2 von oben muss er jetzt natürlich die 1/2 vor die Summen schreiben, sonst wär's falsch. Dafür hat er aber in den Summen jetzt die schöne 1 im Zähler.
> [mm]\bruch{1}{2}(\summe_{n=1}^{k} \bruch{1}{2n-1}- \summe_{n=1}^{k}\bruch{1}{2n+1})= \bruch{1}{2}(\summe_{n=1}^{k-1}\bruch{1}{2n+1}- \summe_{n=1}^{k}\bruch{1}{2n+1})=[/mm]
>
> (hier verstehe ich nun nicht, wie aus
> [mm]\summe_{n=1}^{k-1}\bruch{1}{2n+1}[/mm] eine 1 wird)
Wird auch nicht! Hier hat Lösung, mal vorausgesetzt Du hast sie korrekt abgeschrieben, einen Fehler. Richtig muss es heißen:
... = [mm] \bruch{1}{2}(1 [/mm] + [mm] \summe_{n=1}^{k-1}\bruch{1}{2n+1}- \summe_{n=1}^{k}\bruch{1}{2n+1})= [/mm] ...
Denn beim Umformen der ersten Summe fällt am Anfang eine 1 raus. An dieser Stelle steckt überhaupt die Lösungsidee der ganzen Aufgabe, nämlich die Möglichkeit durch Umorganisieren der ersten Summe bei beiden Summen auf den gleichen Nenner unter der Summe zu kommen und damit k-1 Summanden insgesamt wegfallen lassen zu können.
> [mm]=\bruch{1}{2}(1-\bruch{1}{2k+1})[/mm]
>
> Daher gilt= [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch {1}{4n^2-1}=\limes_{k\rightarrow\infty}s_{k}=1/2[/mm]
> was ist mit der Klammer?
Bei k gegen Unendlich verschwindet der Term (Grenzwert = 0) und es bleibt die 1 übrig.
>
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> Ich würde mich sehr freuen, wenn mir jemand diese Fragen
> beantworten könnte und bedanke mich im voraus.
>
> Liebe Grüße Melisa
>
Gruß
Uli
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