Summenzeichen aufspalten < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:49 Mi 30.11.2011 | | Autor: | Pauli85 |
| Aufgabe | Zeigen Sie durch Induktion:
[mm] \forall [/mm] n [mm] \in \IN_{0}: \summe_{i=1}^{2^{n}} \bruch{1}{i} \ge [/mm] 1 + [mm] \bruch{1}{2}n [/mm] |
Hallo,
kann ich bei dieser Induktion das Summenzeichen irgendwie aufteilen, wie man es meistens macht? Ich meine, ich habe ja im Induktionsschritt dieses Summenzeichen stehen: [mm] \summe_{i=1}^{2^{n+1}}. [/mm] Wenn ich oben die [mm] 2^{n+1} [/mm] in [mm] 2^{n} [/mm] und [mm] 2^{1} [/mm] aufteilen könnte, kann ich ja die IV anwenden. Oder denke ich da in eine völlig falsche Richtung?
Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:43 Mi 30.11.2011 | | Autor: | Helbig |
Weil [mm] $2^{n+1} [/mm] = [mm] 2*2^n$ [/mm] ist, erhältst Du beim Aufspalten zwei Teilsummen mit je [mm] $2^n$ [/mm] Gliedern. Die erste schätzt Du nach IV ab, die zweite mit ein bißchen Überlegung.
Hilft das schon?
Gruß
Wolfgang
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:35 Mi 30.11.2011 | | Autor: | Pauli85 |
> Teilsummen mit je [mm]2^n[/mm] Gliedern.
Meinst du, ich bekomme zwei Summenzeichen mit [mm] 2^{n} [/mm] als obere Grenze? Oder wie war das gemeint?
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Hallo Pauli85,
> > Teilsummen mit je [mm]2^n[/mm] Gliedern.
>
> Meinst du, ich bekomme zwei Summenzeichen mit [mm]2^{n}[/mm] als
> obere Grenze? Oder wie war das gemeint?
Es ist doch
[mm]\summe_{i=1}^{2 ^{n+1}}\bruch{1}{i}=\summe_{i=1}^{2 ^{n}}\bruch{1}{i}+\summe_{i=2^{n}+1}^{2 ^{n+1}}\bruch{1}{i}[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:33 Do 01.12.2011 | | Autor: | Pauli85 |
> Es ist doch
>
> [mm]\summe_{i=1}^{2 ^{n+1}}\bruch{1}{i}=\summe_{i=1}^{2 ^{n}}\bruch{1}{i}+\summe_{i=2^{n}+1}^{2 ^{n+1}}\bruch{1}{i}[/mm]
Du meinst bestimmt:
[mm] \summe_{i=1}^{2 ^{n+1}}\bruch{1}{i}=\summe_{i=1}^{2 ^{n}}\bruch{1}{i}+\summe_{i=2^{n}}^{2 ^{n+1}}\bruch{1}{i}
[/mm]
Oder? Also jetzt im Bezug auf den letzten unteren Index. Sonst geht das nämlich nicht auf, wenn ich z.B. Zahlen zum testen einsetzte. Aber selbst wenn, dann habe ich immer noch ein Summenzeichen stehen...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:39 Do 01.12.2011 | | Autor: | fred97 |
> > Es ist doch
> >
> > [mm]\summe_{i=1}^{2 ^{n+1}}\bruch{1}{i}=\summe_{i=1}^{2 ^{n}}\bruch{1}{i}+\summe_{i=2^{n}+1}^{2 ^{n+1}}\bruch{1}{i}[/mm]
>
> Du meinst bestimmt:
> [mm]\summe_{i=1}^{2 ^{n+1}}\bruch{1}{i}=\summe_{i=1}^{2 ^{n}}\bruch{1}{i}+\summe_{i=2^{n}}^{2 ^{n+1}}\bruch{1}{i}[/mm]
>
> Oder?
Nein. Bei Dir wird [mm] 1/2^n [/mm] doppelt gezählt.
Anderes Bsp:
[mm] \summe_{i=1}^{6}= \summe_{i=1}^{3}+\summe_{i=4}^{6}
[/mm]
FRED
> Also jetzt im Bezug auf den letzten unteren Index.
> Sonst geht das nämlich nicht auf, wenn ich z.B. Zahlen zum
> testen einsetzte. Aber selbst wenn, dann habe ich immer
> noch ein Summenzeichen stehen...
>
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:59 Do 01.12.2011 | | Autor: | Pauli85 |
Ach verdammt! Ich habe mich total verguckt, habe die +1 bei [mm] 2^{n} [/mm] +1 auch im Exponenten gesehen, wie bei der oberen Grenze. So macht das ganze natürlich Sinn!
Dann habe ich also nun:
[mm] \summe_{i=1}^{2 ^{n}}\bruch{1}{i}+\summe_{i=2^{n}+1}^{2 ^{n+1}}\bruch{1}{i} \ge [/mm] 1 + [mm] \bruch{1}{2}*(n+1)
[/mm]
Nach IV gilt nun:
1 + [mm] \bruch{1}{2}*n [/mm] + [mm] \summe_{i=2^{n}+1}^{2 ^{n+1}}\bruch{1}{i} \ge [/mm] 1 + [mm] \bruch{1}{2}*(n+1)
[/mm]
1 + [mm] \bruch{1}{2}*n [/mm] + [mm] \summe_{i=2^{n}+1}^{2 ^{n+1}}\bruch{1}{i} \ge [/mm] 1 + [mm] \bruch{1}{2}*n [/mm] + [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
[mm] \summe_{i=2^{n}+1}^{2 ^{n+1}}\bruch{1}{i} \ge \bruch{1}{2}
[/mm]
Hmmm... jetzt muss ich bestimmt mit irgendwas argumentieren, dass der Ausdruck erfüllt ist, oder?
Grüße
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Hallo Pauli85,
> Ach verdammt! Ich habe mich total verguckt, habe die +1
> bei [mm]2^{n}[/mm] +1 auch im Exponenten gesehen, wie bei der oberen
> Grenze. So macht das ganze natürlich Sinn!
>
> Dann habe ich also nun:
> [mm]\summe_{i=1}^{2 ^{n}}\bruch{1}{i}+\summe_{i=2^{n}+1}^{2 ^{n+1}}\bruch{1}{i} \ge[/mm]
> 1 + [mm]\bruch{1}{2}*(n+1)[/mm]
> Nach IV gilt nun:
Schreibe Äquivalenzzeichen, wenn Du äquivalente Aussagen triffst. Sonst steht da nur eine zusammenhangslose Aneinanderreihungen von Ungleichungen.
> 1 + [mm]\bruch{1}{2}*n[/mm] + [mm]\summe_{i=2^{n}+1}^{2 ^{n+1}}\bruch{1}{i} \ge[/mm] 1 + [mm]\bruch{1}{2}*(n+1)[/mm]
> 1 + [mm]\bruch{1}{2}*n[/mm] + [mm]\summe_{i=2^{n}+1}^{2 ^{n+1}}\bruch{1}{i} \ge[/mm] 1 + [mm]\bruch{1}{2}*n[/mm] + [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
> [mm]\summe_{i=2^{n}+1}^{2 ^{n+1}}\bruch{1}{i} \ge \bruch{1}{2}[/mm]
>
> Hmmm... jetzt muss ich bestimmt mit irgendwas
> argumentieren, dass der Ausdruck erfüllt ist, oder?
Ja, in der Summe
[mm] \summe_{i=2^{n}+1}^{2 ^{n+1}}\bruch{1}{i}
[/mm]
sind alle Summanden [mm] \geq\frac{1}{2^{n+1}}. [/mm] Damit folgt die Aussage leicht.
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:03 Fr 02.12.2011 | | Autor: | Pauli85 |
Heißt das, ich muss zeigen, dass [mm] \frac{1}{2^{n+1}} \ge \frac{1}{2} [/mm] gilt? Denn wenn [mm] \frac{1}{2^{n+1}} [/mm] der kleinste Summand ist und immer noch größer oder gleich [mm] \frac{1}{2} [/mm] ist, dann ist der Rest der Summe ja aufjedenfall größer als [mm] \frac{1}{2}.
[/mm]
Das Problem ist nur, dass ich etwas widersprüchliches rausbekomme:
[mm] \frac{1}{2^{n+1}} \ge \frac{1}{2}
[/mm]
[mm] \gdw \frac{2}{2^{n+1}} \ge [/mm] 1
[mm] \gdw [/mm] 2 [mm] \ge 2^{n+1}
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] 2 [mm] \ge 2^{1}*2^{n}
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] 1 [mm] \ge 2^{n}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] Nie erfüllt
Also muss ich wohl irgendetwas falsch gemacht haben. Entweder in meiner Rechnung oder schon in meiner Überlegung.
Danke & Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:11 Sa 03.12.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
Daas $ [mm] \frac{1}{2^{n+1}} \ge \frac{1}{2} [/mm] $ quatsch ist siehst du für jedes n, das du einsetzt!
Lies bitte posts genau! Da stand alle Summanden sind [mm] >\frac{1}{2^{n+1}} [/mm]
und davon gibts wieviele?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:15 Sa 03.12.2011 | | Autor: | Pauli85 |
Es gibt [mm] (2^{n+1} [/mm] - [mm] 2^{n}) [/mm] Summanden, denn ich muss die untere Grenze von der Oberen abziehen, aber die untere Grenze muss noch mit enthalten sein da sie ja auch im Summenzeichen eingesetzt wird also fällt die "+1" weg.
Dann muss ich also zeigen, dass [mm] (2^{n+1} [/mm] - [mm] 2^{n}) [/mm] * [mm] \bruch{1}{2^{n+1}} [/mm] größer gleich [mm] \bruch{1}{2} [/mm] ist, denn wenn alle Summanden mind. so groß sind wie der kleinste und die Summe dabei großer gleich [mm] \bruch{1}{2} [/mm] ist, so ist die "richtige" Summe aufjedenfall größer. Also habe ich:
[mm] \summe_{i=2^{n}+1}^{2^{n+1}} \bruch{1}{i} \ge \bruch{1}{2}
[/mm]
[mm] \Rightarrow (2^{n+1} [/mm] - [mm] 2^{n}) [/mm] * [mm] \bruch{1}{2^{n+1}} \ge \bruch{1}{2}
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{2^{n+1}}{2^{n+1}} [/mm] - [mm] \bruch{2^{n}}{2^{n}*2^{1}} \ge \bruch{1}{2}
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] 1 - [mm] \bruch{1}{2} \ge \bruch{1}{2}
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{1}{2} \ge \bruch{1}{2}
[/mm]
So könnte es passen, oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:10 Sa 03.12.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Es gibt [mm](2^{n+1}[/mm] - [mm]2^{n})[/mm] Summanden, denn ich muss die
> untere Grenze von der Oberen abziehen, aber die untere
> Grenze muss noch mit enthalten sein da sie ja auch im
> Summenzeichen eingesetzt wird also fällt die "+1" weg.
> Dann muss ich also zeigen, dass [mm](2^{n+1}[/mm] - [mm]2^{n})[/mm] *
> [mm]\bruch{1}{2^{n+1}}[/mm] größer gleich [mm]\bruch{1}{2}[/mm] ist, denn
> wenn alle Summanden mind. so groß sind wie der kleinste
> und die Summe dabei großer gleich [mm]\bruch{1}{2}[/mm] ist, so ist
> die "richtige" Summe aufjedenfall größer. Also habe ich:
> [mm]\summe_{i=2^{n}+1}^{2^{n+1}} \bruch{1}{i} \ge \bruch{1}{2}[/mm]
warum fängst du mit dem, was du beweisen willst an?
das sollte erst am Ende rauskommen!
der wesentliche Schritt fwhlt, nämlich der von 1/i in der Summe auf [mm] 1/(2^n+1) [/mm] überzugehen, und damit die Summe zu vergrößern!
d.h. in deiner argumentation fehlt der wesentliche Abschätzungsschritt.
> [mm]\Rightarrow (2^{n+1}[/mm] - [mm]2^{n})[/mm] * [mm]\bruch{1}{2^{n+1}} \ge \bruch{1}{2}[/mm]
>
> [mm]\gdw \bruch{2^{n+1}}{2^{n+1}}[/mm] - [mm]\bruch{2^{n}}{2^{n}*2^{1}} \ge \bruch{1}{2}[/mm]
>
> [mm]\gdw[/mm] 1 - [mm]\bruch{1}{2} \ge \bruch{1}{2}[/mm]
> [mm]\gdw \bruch{1}{2} \ge \bruch{1}{2}[/mm]
>
> So könnte es passen, oder?
Siehe oben.
gruss leduart
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