Summierte Simpson Regel < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:40 Di 20.07.2010 | | Autor: | techi |
| Aufgabe | | Das Integral [mm] \integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{cos(x) } [/mm] soll mit der summierten Simpson-Regel berechnet werden. Die Schrittweite h ist so zu wählen, das der absolute Fehler kleiner als [mm] 10^{-5} [/mm] ist |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Die Frage ist, wie bestimme ich h?
Vorbereitungen:
f(x) = cos(x)
f'(x) = -sin(x)
f''(x) = -cos(x)
f'''(x) = sin(x)
f''''(x) = cos(x)
f''''(0) = 1
f''''(PI/2)= 0
Fehlerformel:
| [mm] \bruch{1}{180}*h^4 [/mm] * [mm] (\bruch{\pi}{2} [/mm] -0)*1| < [mm] 10^{-5}
[/mm]
daraus wird:
| [mm] \bruch{1}{180}*h^4 [/mm] * [mm] \bruch{\pi}{2}| [/mm] < [mm] 10^{-5}
[/mm]
daraus wird:
[mm] h^4 [/mm] < [mm] \bruch{\bruch{10^{-5}}{\bruch{\pi}{2}}}{180}
[/mm]
Ziehe ich nun noch die 4te Wurzel, erhalte ich:
h < 0,01371361347
Die Anzahl der Schritte ist definiert als:
n = [mm] \bruch{b-a}{h}
[/mm]
somit:
n = 114,5428468
Also benötige ich 114 Schritte um die gewünschte genauigkeit zu erreichen.
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Der Grund warum ich diese Frage stelle ist, das dies einmal eine alte Klausuraufgabe war. Die nächste Teilaufgabe lautet:
"Berechnen Sie den Näherungswert mit der Simpson-Regel unter Verwendung des in a) bestimmten Wertes von h".
Da auf dem Blatt Din A4 Blatt nur 3 cm Platz zum lösen der Teilaufgabe ist, denke ich nicht das meine berechnung von h korrekt ist.
Ist mein h korrekt?
Wie müsste ich bei Teilaufgabe b.) weiter vorgehen? Ich kann doch nicht schriftlich 114 Schritte rechnen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:55 Di 20.07.2010 | | Autor: | fred97 |
> Das Integral [mm]\integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{cos(x) }[/mm] soll
> mit der summierten Simpson-Regel berechnet werden. Die
> Schrittweite h ist so zu wählen, das der absolute Fehler
> kleiner als [mm]10^{-5}[/mm] ist
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Die Frage ist, wie bestimme ich h?
>
> Vorbereitungen:
>
> f(x) = cos(x)
> f'(x) = -sin(x)
> f''(x) = -cos(x)
> f'''(x) = sin(x)
> f''''(x) = cos(x)
>
> f''''(0) = 1
> f''''(PI/2)= 0
>
> Fehlerformel:
>
> | [mm]\bruch{1}{180}*h^4[/mm] * [mm](\bruch{\pi}{2}[/mm] -0)*1| < [mm]10^{-5}[/mm]
>
Ich kenne die Fehlerabschätzung so:
(*) Fehler [mm] \le \frac{(b-a)}{2880}h^4 \max_{a\le x \le b} {\left| f^{(4)}(x) \right|} [/mm]
> daraus wird:
>
> | [mm]\bruch{1}{180}*h^4[/mm] * [mm]\bruch{\pi}{2}|[/mm] < [mm]10^{-5}[/mm]
>
> daraus wird:
>
> [mm]h^4[/mm] < [mm]\bruch{\bruch{10^{-5}}{\bruch{\pi}{2}}}{180}[/mm]
>
> Ziehe ich nun noch die 4te Wurzel, erhalte ich:
>
> h < 0,01371361347
Mit (*) komme ich auf h<0,366
>
> Die Anzahl der Schritte ist definiert als:
>
> n = [mm]\bruch{b-a}{h}[/mm]
>
> somit:
>
> n = 114,5428468
Mit (*) komme ich auf n [mm] \approx [/mm] 4
FRED
>
> Also benötige ich 114 Schritte um die gewünschte
> genauigkeit zu erreichen.
>
> ---
>
> Der Grund warum ich diese Frage stelle ist, das dies einmal
> eine alte Klausuraufgabe war. Die nächste Teilaufgabe
> lautet:
>
> "Berechnen Sie den Näherungswert mit der Simpson-Regel
> unter Verwendung des in a) bestimmten Wertes von h".
>
> Da auf dem Blatt Din A4 Blatt nur 3 cm Platz zum lösen der
> Teilaufgabe ist, denke ich nicht das meine berechnung von h
> korrekt ist.
>
> Ist mein h korrekt?
> Wie müsste ich bei Teilaufgabe b.) weiter vorgehen? Ich
> kann doch nicht schriftlich 114 Schritte rechnen?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:11 Di 20.07.2010 | | Autor: | techi |
Danke schonmal, deine Rechnung sieht gleich viel passender aus. Leider komm ich einfach nicht auf deinen Wert. Wie sieht deine nach h umgestellte Formel aus? Ich erhalte:
h <= 4t Wurzel aus:
[mm] \bruch{10^{-5}*\bruch{2880}{(b-a)}}{1}
[/mm]
Damit erhalte ich:
h <= 0,3679748633
Hast du dein h = 0,366 davon nun einfach abgelesen und kleiner gemacht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:15 Di 20.07.2010 | | Autor: | fred97 |
> Danke schonmal, deine Rechnung sieht gleich viel passender
> aus. Leider komm ich einfach nicht auf deinen Wert. Wie
> sieht deine nach h umgestellte Formel aus? Ich erhalte:
>
> h <= 4t Wurzel aus:
>
> [mm]\bruch{10^{-5}*\bruch{2880}{(b-a)}}{1}[/mm]
>
> Damit erhalte ich:
>
> h <= 0,3679748633
>
> Hast du dein h = 0,366 davon nun einfach abgelesen und
> kleiner gemacht?
Ja
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:18 Di 20.07.2010 | | Autor: | techi |
Vielen Dank :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:42 Di 20.07.2010 | | Autor: | techi |
| Aufgabe | | [mm] \integral_{0}^{\pi/4}{sin(x)} [/mm] |
Hab nochmal ein wenig gerechnet, diesesmal mit obiger Aufgabe.
f(x) = sin(x)
f'(x) = cos(x)
f''(x) = -sin(x)
f'''(x) = -cos(x)
f''''(x) = sin(x)
f''''(0) = 0
[mm] f''''(\bruch{\pi}{2}) [/mm] = [mm] \bruch{\wurzel{2}}{2}
[/mm]
h <= 4te Wurzel von:
[mm] \bruch{10^{-5} * \bruch{2880}{\bruch{\pi}{4}-0}}{\bruch{\wurzel{2}}{2}}
[/mm]
Somit:
h <= 0,4772043579
Berechnen der nötigen Schritte:
n = (b-a)/h = 1,645831917 [mm] \approx [/mm] 2
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Berechnen eines h's für 2 Schritte.
[mm] \bruch{\pi}{4} [/mm] / 2 = 0,3926990817
Erfüllt die Bedingung <= 0,4772043579
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Berechne ich nun das Integral exakt:
0,2928932188
Berechne ich es über eine Näherung nach Simpson Regel mit n=2 und h=0,3926990817 erhalte ich:
0,2929326378415531
Die Abweichung ist nun [mm] 4*10^{-5} [/mm] anstatt der geforderten [mm] 10^{-5}. [/mm] Wo liegt nun mein Fehler? :(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:42 Di 20.07.2010 | | Autor: | meili |
Hallo,
vielleicht in der Berechnung der Stellen [mm] $x_k$, [/mm] an denen f)x) = sin(x) ausgewertet wird.
Gruß meili
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:16 Di 20.07.2010 | | Autor: | techi |
| Aufgabe | | [mm] \integral_{0}^{\pi/4}{sin(x)} [/mm] |
Hab wieder ein wenig gerechnet, evt. könnte das mal jemand überprüfen?
f(x) = sin(x)
f'(x) = cos(x)
f''(x) = -sin(x)
f'''(x) = -cos(x)
f''''(x) = sin(x)
f''''(0) = 0
[mm] f''''(\bruch{\pi}{4}) [/mm] = [mm] \bruch{\wurzel{2}}{2}
[/mm]
h <= 4te Wurzel von:
[mm] \bruch{10^{-5} * \bruch{2880}{\bruch{\pi}{4}-0}}{\bruch{\wurzel{2}}{2}}
[/mm]
Somit:
h <= 0,4772043579
Berechnen der nötigen Schritte:
n = 2*((b-a)/h) = 2*1,645831917 [mm] \approx [/mm] 3,291664056 Schritte.
---
Da 3,29 Schritte nicht möglich sind, benötigt ich mindestens 4 Schritte des Simpson Verfahrens, um eine Genauigkeit von [mm] 10^{-5} [/mm] zu erreichen.
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Berechnen eines h's für 4 Schritte.
[mm] \bruch{\pi}{4} [/mm] / 4 = [mm] \bruch{\pi}{16} \approx [/mm] 0,1963495408
Erfüllt die Bedingung <= 0,4772043579
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Nun stelle ich meine Tabelle auf
x xk f(xk)
0 0 = 0
1 [mm] \bruch{\pi}{16} [/mm] = [mm] sin(\bruch{\pi}{16})
[/mm]
2 [mm] \bruch{2\pi}{16} [/mm] = [mm] sin(\bruch{2\pi}{16})
[/mm]
3 [mm] \bruch{3\pi}{16} [/mm] = [mm] sin(\bruch{3\pi}{16})
[/mm]
4 [mm] \bruch{\pi}{4} [/mm] = [mm] sin(\bruch{\pi}{4})
[/mm]
Und erhalte dadurch:
[mm] \bruch{\bruch{\pi}{16}}{3}*(0+\bruch{\wurzel{2}}{2}+4*sin(\bruch{\pi}{16})+4*sin(\bruch{3\pi}{16})+2*sin(\bruch{2\pi}{16})) [/mm] = 0,2928956485
Das exakte Integral ist = 0,2928932188
Iexakt - Iinterpoliert = 0,000002 = [mm] 2*10^{-6}.
[/mm]
Somit ist die Bedingung erfüllt. Kann mir jemand bestätigen das ich diese Aufgabe korrekt gelöst habe? Vielen Dank!
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Hallo techi,
> [mm]\integral_{0}^{\pi/4}{sin(x)}[/mm]
> Hab wieder ein wenig gerechnet, evt. könnte das mal
> jemand überprüfen?
>
> f(x) = sin(x)
> f'(x) = cos(x)
> f''(x) = -sin(x)
> f'''(x) = -cos(x)
> f''''(x) = sin(x)
>
> f''''(0) = 0
> [mm]f''''(\bruch{\pi}{4})[/mm] = [mm]\bruch{\wurzel{2}}{2}[/mm]
>
>
> h <= 4te Wurzel von:
>
> [mm]\bruch{10^{-5} * \bruch{2880}{\bruch{\pi}{4}-0}}{\bruch{\wurzel{2}}{2}}[/mm]
Hier muss es doch lauten:
[mm]\bruch{10^{-5} * \bruch{2880}{\left(\bruch{\pi}{4}-0}\right)^{\red{5}}}{\bruch{\wurzel{2}}{2}}[/mm]
>
> Somit:
>
> h <= 0,4772043579
>
> Berechnen der nötigen Schritte:
>
> n = 2*((b-a)/h) = 2*1,645831917 [mm]\approx[/mm] 3,291664056
> Schritte.
>
Mit dem obigen korrigierten h erhalte ich [mm]n=2.58...[/mm].
Also nur n=3 Schritte.
> ---
>
> Da 3,29 Schritte nicht möglich sind, benötigt ich
> mindestens 4 Schritte des Simpson Verfahrens, um eine
> Genauigkeit von [mm]10^{-5}[/mm] zu erreichen.
>
> ---
>
> Berechnen eines h's für 4 Schritte.
>
> [mm]\bruch{\pi}{4}[/mm] / 4 = [mm]\bruch{\pi}{16} \approx[/mm] 0,1963495408
>
> Erfüllt die Bedingung <= 0,4772043579
>
> ---
> Nun stelle ich meine Tabelle auf
>
> x xk f(xk)
> 0 0 = 0
>
> 1 [mm]\bruch{\pi}{16}[/mm] = [mm]sin(\bruch{\pi}{16})[/mm]
>
> 2 [mm]\bruch{2\pi}{16}[/mm] = [mm]sin(\bruch{2\pi}{16})[/mm]
>
> 3 [mm]\bruch{3\pi}{16}[/mm] = [mm]sin(\bruch{3\pi}{16})[/mm]
>
> 4 [mm]\bruch{\pi}{4}[/mm] = [mm]sin(\bruch{\pi}{4})[/mm]
>
Hier brauchst Du auch die Stellen zwischen den Stützstellen:
[mm]\bruch{1}{2}*\left(0*\bruch{\pi}{16}+1*\bruch{\pi}{16}][/mm]
[mm]\bruch{1}{2}*\left(1*\bruch{\pi}{16}+2*\bruch{\pi}{16}][/mm]
[mm]\bruch{1}{2}*\left(2*\bruch{\pi}{16}+3*\bruch{\pi}{16}][/mm]
[mm]\bruch{1}{2}*\left(3*\bruch{\pi}{16}+4*\bruch{\pi}{16}][/mm]
>
> Und erhalte dadurch:
>
> [mm]\bruch{\bruch{\pi}{16}}{3}*(0+\bruch{\wurzel{2}}{2}+4*sin(\bruch{\pi}{16})+4*sin(\bruch{3\pi}{16})+2*sin(\bruch{2\pi}{16}))[/mm]
> = 0,2928956485
>
> Das exakte Integral ist = 0,2928932188
>
> Iexakt - Iinterpoliert = 0,000002 = [mm]2*10^{-6}.[/mm]
>
> Somit ist die Bedingung erfüllt. Kann mir jemand
> bestätigen das ich diese Aufgabe korrekt gelöst habe?
> Vielen Dank!
Gruss
MathePower
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