SuperMG, E konstant Martingal < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:17 Mo 15.11.2010 | | Autor: | Bappi |
| Aufgabe | | Es sei [mm] $(X_n,\mathcal F_n)_{n\in\mathbb N}$ [/mm] ein Super-Martingal derart, dass [mm] $\mathbb EX_n [/mm] = [mm] \text{ const}$. [/mm] Zeige, dass [mm] $(X_n)_{n\in\mathbb N}$ [/mm] bereits ein Martingal ist. |
Hallo!
Es muss sehr einfach sein, nur irgendwie habe ich gerade Denkprobleme.
Ich weiß, dass [mm] $\mathbb E(X_n\mid \mathcal F_{n-1}) \leq X_{n-1}$ [/mm] und der Erwartungswert einen konstanten Wert annimmt, und irgendwie muss ich wohl mit den "typischen" Eigenschaften der bedingten Erwartung spielen, aber...
Vlt hat jemand Denkanstöße für mich :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:58 Di 16.11.2010 | | Autor: | Marc |
Hallo Bappi,
es wäre nett, wenn du uns auch weiterhin auf Crossposting hinweist! 
> Es sei [mm](X_n,\mathcal F_n)_{n\in\mathbb N}[/mm] ein
> Super-Martingal derart, dass [mm]\mathbb EX_n = \text{ const}[/mm].
> Zeige, dass [mm](X_n)_{n\in\mathbb N}[/mm] bereits ein Martingal
> ist.
> Hallo!
>
> Es muss sehr einfach sein, nur irgendwie habe ich gerade
> Denkprobleme.
>
> Ich weiß, dass [mm]\mathbb E(X_n\mid \mathcal F_{n-1}) \leq X_{n-1}[/mm]
> und der Erwartungswert einen konstanten Wert annimmt, und
> irgendwie muss ich wohl mit den "typischen" Eigenschaften
> der bedingten Erwartung spielen, aber...
Es gilt doch [mm] $E(E(X_n\mid \mathcal F_{n-1}))=E(X_n)$ [/mm] (Eigenschaft der bedingten Erwartung)
Weiterhin [mm] $E(X_n\mid \mathcal F_{n-1}) \leq X_{n-1}$ $\Rightarrow$ $E(X_n\mid \mathcal F_{n-1}) -X_{n-1}\leq [/mm] 0$
Damit haben wir
[mm] $E(\underbrace{E(X_n\mid \mathcal F_{n-1}) -X_{n-1}}_{\leq 0})=?$
[/mm]
Was lässt sich nun über das Argument des äußeren Erwartungswerts sagen?
Viele Grüße,
Marc
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