Superlinear, Konvergenzordnung < Nichtlineare Gleich. < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:47 Do 31.12.2015 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Zu unserer Definition:
Sei [mm] \{\epsilon_k\}_{k\in \mathbb{N}} [/mm] eine reelle nicht negative Nullfolge.
Wir definieren K:= [mm] \lim_{k\rightarrow \infty} [/mm] sup [mm] \epsilon_k^{\frac{1}{k}}
[/mm]
Die Folge heißt i) sublinear falls K=1
ii) linear falls 0<K<1
iii) superlinear falls K=0
Falls im superlinearen Fall zudem [mm] \epsilon_{k+1} \le [/mm] c [mm] \epsilon_{k}^p [/mm] für ein p>1, c>0 für fast alle k [mm] \in \mathbb{N} [/mm] dann hat die Folge Konvergenzordnung p.
Frage:
Sei [mm] \{\epsilon_k\} [/mm] eine Nullfolge, die [mm] \epsilon_{k+1} \le [/mm] c [mm] \epsilon_{k}^p [/mm] für ein p>1, c>0 für fast alle k [mm] \in \mathbb{N} [/mm] erfüllt.
Im Skript steht, dann ist offensichtlich die Folge [mm] \{\epsilon_k\}_{k \in \mathbb{N}} [/mm] superlinear.
Aber warum? |
Hallo
ZZ.: [mm] lim_{k\rightarrow \infty} [/mm] sup [mm] \epsilon_k^{\frac{1}{k}}=0
[/mm]
[mm] \exists k_0: 0\le\epsilon_k [/mm] < 1 [mm] \forall [/mm] k [mm] \ge k_0
[/mm]
[mm] \epsilon_k \le \epsilon_k^{\frac{1}{k}} \le [/mm] (c [mm] \epsilon_{k-1})^{p/k} [/mm] = exp(log( C [mm] \epsilon_{k-1})*\frac{p}{k})=e^{log(c)\frac{p}{k}} [/mm] * [mm] e^{log(\epsilon_{k-1})\frac{p}{k}}
[/mm]
Die linke Seite geht gegen 0 aber die rechte Abschätzung -denke ich- passt noch nicht.
Im Internet finde ich überall nur verschiedene Definitionen dieser Begriffe.
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:55 Fr 01.01.2016 | | Autor: | fred97 |
Edit: da stand Unsinn
Ein gutes neues Jahr wünscht
FRED
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 11:40 Fr 01.01.2016 | | Autor: | sissile |
Hallo,
Danke für deinen Post. Ich kann deine Schritte nachvollziehen.
> Damit ist die Reihe $ [mm] \summe_{k=1}^{\infty}x_k [/mm] $ konvergent und folglich $ [mm] (x_k) [/mm] $ eine Nullfolge.
Es ist aber doch zuzeigen [mm] \lim \sup \epsilon_k^{\frac{1}{k}}=0, [/mm] dass [mm] \{\epsilon_k\}_{k \in \mathbb{N}} [/mm] eine Nullfolge ist hab ich doch gegeben und das verwendest du doch auch im dem Schritt:
> p-1 >0 haben wir dann
> $ [mm] \bruch{x_{k+1}}{x_k} \to [/mm] $ 0 für k $ [mm] \to \infty. [/mm] $
Hab ich da gerade einen Denkfehler oder passt da etwas nicht?
LG,
sissi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:54 Fr 01.01.2016 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
> Danke für deinen Post. Ich kann deine Schritte
> nachvollziehen.
>
> > Damit ist die Reihe [mm]\summe_{k=1}^{\infty}x_k[/mm] konvergent und
> folglich [mm](x_k)[/mm] eine Nullfolge.
> Es ist aber doch zuzeigen [mm]\lim \sup \epsilon_k^{\frac{1}{k}}=0,[/mm]
> dass [mm]\{\epsilon_k\}_{k \in \mathbb{N}}[/mm] eine Nullfolge ist
> hab ich doch gegeben und das verwendest du doch auch im dem
> Schritt:
> > p-1 >0 haben wir dann
>
> > [mm]\bruch{x_{k+1}}{x_k} \to[/mm] 0 für k [mm]\to \infty.[/mm]
>
> Hab ich da gerade einen Denkfehler oder passt da etwas
> nicht?
Ja, meine obige Antwort War Unfug.
Fred
>
> LG,
> sissi
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:52 Fr 01.01.2016 | | Autor: | sissile |
Hallo Fred,
Kannt man es aber vlt. retten bzw weiterführen:
Du zeigt [mm] \frac{\epsilon_{k+1}}{\epsilon_k} \rightarrow [/mm] 0 für k [mm] \rightarrow \infty.
[/mm]
[mm] \forall [/mm] E>0: [mm] \exists [/mm] N [mm] \in \mathbb{N}: [/mm] | [mm] \frac{\epsilon_{k+1}}{\epsilon_k}| [/mm] < E [mm] \forall [/mm] k [mm] \ge [/mm] N
| [mm] \frac{\epsilon_{N+1}}{\epsilon_N}|*| \frac{\epsilon_{N+2}}{\epsilon_{N+1}}|*...*| \frac{\epsilon_{n}}{\epsilon_{n-1}}|< E^{n-N}
[/mm]
| [mm] \frac{\epsilon_{n}}{\epsilon_N}|< (E)^{n-N}
[/mm]
[mm] \wurzel[n]{|\epsilon_n|} [/mm] < [mm] \wurzel[n]{|\epsilon_N|}* (E)^{1-\frac{N}{n}}
[/mm]
Daraus folgt:
0 [mm] \le \limsup_{n\rightarrow \infty} \epsilon_n^{\frac{1}{n}} [/mm] < [mm] (E)^{1}
[/mm]
Da E beliebig gewählt werden kann ist es denke ich gelöst?
Oder übersehe ich etwas?
LG,
sissi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:20 So 03.01.2016 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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