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| Aufgabe | | Definition für Superpostionsprinzip für partielle differential gleichung |
Hi leuts,
ich finde keine Anständige Literatur,in der das Superpositionsprinzip für partielle differential gleichung definiert und bewiesen wird. Ich brauche das für die eindimensionale Wellegngleichung könnt ihr mir helfen? bitte..
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hiho,
also erstmal gilt das Superpostionsprinzip nur für lineare homogene Gleichungen.
Dann: Was hat dich abgehaltel selbst mal bei ![[]](/images/popup.gif) Wikipedia nachzuschlagen? Dort findest du die Definition, der Beweis ergibt sich trivial durch Nachrechnen.
Wo ist also dein konkretes Problem?
Gruß,
Gono
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Also ich hab mir das jetzt ausgedacht
Seien [mm] $y_1,\ldots,y_n$ [/mm] Lösungen einer homogenen Dgl $y$.Dann ist die Summe dieser [mm] $y_1,..,y_n$ [/mm] auch eine Lösung der Dgl $y$,d.h.
[mm] $y=\sum_{i=1}^{n} c_iy_i$ [/mm] ,dabei sind [mm] $c_i$ [/mm] konstanten,für alle [mm] $i=1,\ldots [/mm] n$
Beweis: Betrachtet man eine homogene lineare DGL zweiter Ordnung,dann sind ihre Lösungen mit
[mm] $a_2y''_n+a_1y'_n+a_0y_n=0$
[/mm]
[mm] $a_2y''_{n-1}+a_1y'_{n-1}+a_0y_{n-1}=0$
[/mm]
[mm] \vdots
[/mm]
[mm] $a_2y''_{1}+a_1y'_{1}+a_0y_{1}=0$
[/mm]
da die [mm] c_i [/mm] konstant sind kann man dies auch so schreiben(kann man das so sagen/argumentieren?)
[mm] $c_n\left(a_2y''_n+a_1y'_n+a_0y_n\right)=0$
[/mm]
[mm] $c_{n-1}\left(a_2y''_{n-1}+a_1y'_{n-1}+a_0y_{n-1}\right)=0$
[/mm]
[mm] \vdots
[/mm]
[mm] $c_1\left(a_2y''_{1}+a_1y'_{1}+a_0y_{1}\right)=0$
[/mm]
daraus ergibt sich
[mm] a_2\left(c_ny''_n+c_{n-1}y''_{n-1}+\ldots+c_1y''_{1}\right)+a_1\left(c_ny'_n+c_{n-1}y'_{n-1}+\ldots+c_1y'_{1}\right)+a_0\left(c_ny_n+c_{n-1}y_{n-1}+\ldots+c_1y_{1}\right)=0
[/mm]
zieht man die ableitungen raus
[mm] a_2\frac{d^2}{dy}\left(c_ny_n+c_{n-1}y_{n-1}+\ldots+c_1y_{1}\right)+a_1\frac{d}{dy}\left(c_ny_n+c_{n-1}y_{n-1}+\ldots+c_1y_{1}\right)+a_0\left(c_ny_n+c_{n-1}y_{n-1}+\ldots+c_1y_{1}\right)=0
[/mm]
Daraus resultiert die obige aussagen.
kann ich das so machen?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:21 Sa 04.01.2020 | | Autor: | fred97 |
> Also ich hab mir das jetzt ausgedacht
>
> Seien [mm]y_1,\ldots,y_n[/mm] Lösungen einer homogenen Dgl [mm]y[/mm].Dann
> ist die Summe dieser [mm]y_1,..,y_n[/mm] auch eine Lösung der Dgl
> [mm]y[/mm],d.h.
>
> [mm]y=\sum_{i=1}^{n} c_iy_i[/mm] ,dabei sind [mm]c_i[/mm] konstanten,für
> alle [mm]i=1,\ldots n[/mm]
>
> Beweis: Betrachtet man eine homogene lineare DGL zweiter
> Ordnung,dann sind ihre Lösungen mit
>
> [mm]a_2y''_n+a_1y'_n+a_0y_n=0[/mm]
> [mm]a_2y''_{n-1}+a_1y'_{n-1}+a_0y_{n-1}=0[/mm]
> [mm]\vdots[/mm]
> [mm]a_2y''_{1}+a_1y'_{1}+a_0y_{1}=0[/mm]
>
> da die [mm]c_i[/mm] konstant sind kann man dies auch so
> schreiben(kann man das so sagen/argumentieren?)
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> [mm]c_n\left(a_2y''_n+a_1y'_n+a_0y_n\right)=0[/mm]
> [mm]c_{n-1}\left(a_2y''_{n-1}+a_1y'_{n-1}+a_0y_{n-1}\right)=0[/mm]
> [mm]\vdots[/mm]
> [mm]c_1\left(a_2y''_{1}+a_1y'_{1}+a_0y_{1}\right)=0[/mm]
>
> daraus ergibt sich
>
> [mm]a_2\left(c_ny''_n+c_{n-1}y''_{n-1}+\ldots+c_1y''_{1}\right)+a_1\left(c_ny'_n+c_{n-1}y'_{n-1}+\ldots+c_1y'_{1}\right)+a_0\left(c_ny_n+c_{n-1}y_{n-1}+\ldots+c_1y_{1}\right)=0[/mm]
> zieht man die ableitungen raus
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> [mm]a_2\frac{d^2}{dy}\left(c_ny_n+c_{n-1}y_{n-1}+\ldots+c_1y_{1}\right)+a_1\frac{d}{dy}\left(c_ny_n+c_{n-1}y_{n-1}+\ldots+c_1y_{1}\right)+a_0\left(c_ny_n+c_{n-1}y_{n-1}+\ldots+c_1y_{1}\right)=0[/mm]
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> Daraus resultiert die obige aussagen.
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> kann ich das so machen?
ja, das kannst du so machen. Es hätte genügt allerdings den fall n=2 zu betrachten, warum?
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