Supremum < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo allerseits,
ich habe folgendes Problem mit den Übungsaufgaben
X,Y seien nichtleere nach oben beschränkte Teilmengen von [mm] \IR
[/mm]
X+Y :={x+y | [mm] x\in [/mm] X, y [mm] \in [/mm] Y}
Beh.: sup(X+Y)=sup(x)+sup(Y)
Mit Teilmengen [mm] "\subset" "\supset" [/mm] geht das nicht, da das Supremum in diesem Falle ja eine Zahl und keine Menge ist oder?
Ich habe dann folgenden Ansatz versucht:
Sei X eine beliebige Menge, dann besitzt diese Menge nach Voraussetzung eine obere Schranke o, d.h.
o [mm] \ge [/mm] x [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] X. Sei nun s [mm] \in [/mm] {o [mm] \in [/mm] X | o ist obere Schranke von X} das kleinste Element dieser Menge.
[mm] \Rightarrow [/mm] s = supX
Analog dazu das gleiche mit y. Jetzt komme ich aber nicht weiter und ich habe nichts erreicht, außer dass ich irgendwie die Definition des Supremums eingebaut habe.....
Kann ich nicht einfach sagen:
supX [mm] \ge [/mm] x [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] X
supY [mm] \ge y\forall [/mm] y [mm] \in [/mm] Y
[mm] \Rightarrow [/mm] supX+supY [mm] \ge [/mm] x+y [mm] \forall [/mm] x+y | x [mm] \in [/mm] X, y [mm] \in [/mm] Y
Komme hier wieder nicht weiter, merke gerade das auch dieser Ansatz irgendwie schiefgeht....wie kann ich das sinnvoll lösen und vor allem aufschreiben. Dass das gilt ist ja irgendwie klar, weil ich die Menge X+Y ja entsprechend definiert habe.
Bin für jede Hilfe dankbar.
Gruß
Alex
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:05 Fr 11.11.2005 | | Autor: | MatthiasKr |
Hallo Alex,
hast du mal versucht, dir das ganze anhand von einigen beispiel-konstellationen klarzumachen?
Das sollte eigentlich schon fast reichen,um die Frage zu beantworten.
Viele Grüße
Matthias
|
|
|
| |
|
Hi,
danke für die schnelle Antwort.
Ja, schon nur habe ich das Problem, dass ich davon nicht auf einen Beweis schließen kann. Oder geht es so:
Sei [mm] X=\{x_{1},...,x_{n}\} [/mm] und Sei [mm] Y=\{y_{1},...,y_{n}\}
[/mm]
X+Y ist nun nach Definition die Addition aller Elemente von X und Y.
Da nach Voraussetzung X und Y ein größstes Element x' bzw y' besitzen ist das größte Element von X+Y x'+y'. Da x' aber supX und y' supY folgt, dass supp(X+Y)=x'+y'=supX+supY ist.
Das erscheint mir irgendwie zu trivial.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:54 Fr 11.11.2005 | | Autor: | Faenol |
Es mag dir trivial vorkommen, aber ich würde auf die schnelle sagen, dass der Beweis korrekt wäre ! Man könnte es evtl. noch verbessern in dem für die sup(x)=x' noch die genaue Definition hinschreibt (mit es gibt... für alle aus X usw.)
Faenôl
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:15 Fr 11.11.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo Alex
Du machst gleich 2 Fehler.
1. du kannst i.A. eine Teilmenge von R nicht abzählbar hinschreiben. Stell dir x als oben offenes Intervall vor, oder die vereinigung solcher Intervalle. Dass X eine obere Schranke hat heisst nur, dass die obere Intervallgrenze nicht unendlich ist.
2. Damit dein 2. Fehler: sup(x) ist nicht unbedingt Element von x! X könnte aus den rationalen Approximationen für [mm] \wurzel{2} [/mm] bestehen, 2 ist eine obere Schranke, [mm] sup(x)=\wurzel{2} [/mm] ; sup(x) [mm] \not\in [/mm] X!
1. zu zeigen X+Y hat obere Schranke.
2. mit supx kleinste ob. Schr. ebenso supy; sup(x+y) kleinst ob. Schranke von x+y. So was geht meist mit Widerspruchsbeweis.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
hmm.....wie soll ich zeigen, dass X+Y eine obere Schranke hat?
sei o obere Schranke von X+Y
[mm] \rightarrow [/mm] o [mm] \ge [/mm] z [mm] \forall [/mm] z [mm] \in [/mm] X+Y
o könnte z.B. die Summe aller Elemente von X+Y sein, oder? Dann wäre es zumindest eine obere Schranke....
Was meinst Du genau mit deinem zweiten Schritt? Soll ich zeigen, dass ich für das sup(X+Y) auf jeden Fall supX und supY brauche?
Mir fehlt hier jeder Ansatz.... :(
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:51 Fr 11.11.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Ich habe die Aufgabe ja jetzt gelöst...
Liebe Grüße
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:49 Fr 11.11.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Klar ist zunächst, dass für alle $x [mm] \in [/mm] X$ und $y [mm] \in [/mm] Y$ gilt:
$x+y [mm] \le \sup(X) [/mm] + [mm] \sup(Y)$,
[/mm]
also auch:
[mm] $\sup(X+Y) \le \sup(X) [/mm] + [mm] \sup(Y)$.
[/mm]
Umgekehrt sei [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] beliebig gewählt. Dann gibt es [mm] $x_{\varepsilon} \in [/mm] X$ und [mm] $y_{\varepsilon} \in [/mm] Y$ mit
[mm] $\sup(X) \le x_{\varepsilon} [/mm] + [mm] \frac{\varepsilon}{2}$
[/mm]
und
[mm] $\sup(Y) \le y_{\varepsilon} [/mm] + [mm] \frac{\varepsilon}{2}$.
[/mm]
Wir erhalten:
[mm] $\sup(X) [/mm] + [mm] \sup(Y) \le x_{\varepsilon} [/mm] + [mm] y_{\varepsilon} [/mm] + [mm] \varepsilon$.
[/mm]
Damit gibt es für alle [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] ein [mm] $z_{\varepsilon} \in [/mm] X+Y$ mit
(*) [mm] $\sup(X) [/mm] + [mm] \sup(Y) \le z_{\varepsilon} [/mm] + [mm] \varepsilon$.
[/mm]
Daraus folgt:
(**) [mm] $\sup(X) [/mm] + [mm] \sup(Y) \le \sup(X+Y)$,
[/mm]
insgesamt also die Behauptung.
Um (**) einzusehen, kannst du ja mal [mm] $\sup(X) [/mm] + [mm] \sup(Y) [/mm] > [mm] \sup(X+Y)$ [/mm] annehmen und dies mit (*) (und einem geeigneten [mm] $\varepsilon>0$) [/mm] zum Widerspruch führen...
Liebe Grüße
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:16 Fr 11.11.2005 | | Autor: | Mathe_Alex |
Hallo Stefan,
danke für die Lösung. Ist plausibel, bis auf (**), was ich unten versuche zu erklären. Ein Tipp hätte mir auch gereicht, dann hätte ich selber noch was rumprobieren können.
Hätte folgende Idee, bin mir aber nicht sicher, ob sie stimmt:
supX+supY [mm] \le z_{ \varepsilon} [/mm] + [mm] \varepsilon
[/mm]
=> supX+supY [mm] \le [/mm] sup(X+Y) (noch zu zeigen)
Annahme: sup(X+Y)<supX+supY
Wir wissen: supX+supY [mm] \le z_{ \varepsilon} [/mm] + [mm] \varepsilon
[/mm]
Also folgt
[mm] sup(X+Y)
[mm] \varepsilon :=sup(X+Y)-z_{ \varepsilon}
[/mm]
Daraus würde folgen: sup(X+Y)<sup(X+Y), was ein Widerspruch wäre.
Erscheint mir irgendwie zu einfach. Außerdem darf [mm] \vareepsilon [/mm] nicht Null werden, was bei mir nur gewährleistet ist, wenn [mm] sup(X+Y)>z_{ \varepsilon} [/mm] wäre. Kleiner kann es nicht werden, das ist klar, aber gleich könnten sie doch werden, oder?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:11 Mo 14.11.2005 | | Autor: | Toellner |
Hallo Mathe-Alex,
Streng genommen ist das ein Zirkelschluss, weil Du zu gegebenem [mm] \varepsilon [/mm] die Werte [mm] x_\epsilon [/mm] + [mm] y_\epsilon [/mm] = [mm] z_\epsilon [/mm] bestimmst, und daher
> [mm]\varepsilon :=sup(X+Y)-z_{ \varepsilon}[/mm]
nicht neu definieren kannst.
Außerdem ist es möglich, dass [mm] \varepsilon [/mm] = 0 ist, dann versagt
> Daraus würde folgen: sup(X+Y)<sup(X+Y), was ein Widerspruch
> wäre.
Allerdings bist Du in diesem Fall am Ziel, und den obigen "Schönheitsfehler" kannst Du leicht umgehen,
Gruß, Richard
|
|
|
|
