Supremum, Infimum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:56 Do 24.11.2005 | | Autor: | Doreen |
Hallo,
jetzt muss ich die Frage nochmal loswerden...
[mm] $M:=\{1- \bruch{1}{n} \left| n \in \IN \}$
[/mm]
meine Nachüberlegung:
1- [mm] \bruch{1}{n} [/mm] > 0 da ich ja für n nur natürliche Zahlen einsetzen darf...
dann gehts weiter:
1- [mm] \bruch{1}{1} [/mm] = 0
1- [mm] \bruch{1}{2} [/mm] = 0,5
1- [mm] \bruch{1}{3} [/mm] = [mm] \bruch{2}{3} [/mm] usw.
M{0; 0,5; [mm] \bruch{2}{3} [/mm] ...}
Ich sehe auch, dass man immer mehr an die 1 rankommt, sie aber nicht
erreicht... Welche Bedeutung wird dem zugesprochen?
was ist jetzt von dieser Aufgabe ausgehen das Supremum (die kleinste obere Schranke) ? Gibt es überhaupt eine? Wie beweise ich das? Gibt es
dazu ein Maximum? Wie beweise ich das? Das gleiche für Infimum...?
Wäre toll, wenn mir jemand diese Begriffe nahebringen könnte, damit
sie verständlich sind und nachvollziehbar wären...
Vielen Dank im Voraus
Doreen
Diese Frage habe ich in keinem anderen Forum gestellt.
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Hallo Doreen!
> 1- [mm]\bruch{1}{n}[/mm] > 0 da ich ja für n nur natürliche Zahlen
> einsetzen darf...
Genauer: [mm] $1-\bruch{1}{n} [/mm] \ [mm] \red{\ge} [/mm] \ 0$ !
> [mm]M=\{0; 0,5; \bruch{2}{3} ...\}[/mm]
>
> Ich sehe auch, dass man immer mehr an die 1 rankommt, sie
> aber nicht
> erreicht... Welche Bedeutung wird dem zugesprochen?
Damit hast Du zunächst den Grenzwert dieser Menge .
> was ist jetzt von dieser Aufgabe ausgehen das Supremum (die
> kleinste obere Schranke) ? Gibt es überhaupt eine?
Na klar gibt es obere Schranken ... z.B. $7_$ oder [mm] $\wurzel{5}$ [/mm] oder [mm] $\pi$ [/mm] ...
Denn es gibt kein einziges Folgenglied, das diese Werte erreicht.
Und das Supremum (= kleinste obere Schranke) hast Du ja bereits rausgekriegt mit der $1_$.
> Wie beweise ich das?
Du musst halt zeigen, dass gilt: [mm] $1-\bruch{1}{n} [/mm] \ [mm] \red{<} [/mm] \ 1$ [mm] $\forall [/mm] \ n \ [mm] \in [/mm] \ [mm] \IN$
[/mm]
> Gibt es dazu ein Maximum? Wie beweise ich das?
Wenn auch nur ein einziges Folgenglied genau dem Supremum (unterste obere Schranke) entspricht, ist das automatisch auch das Maximum.
Wird der Wert $1_$ auch exakt erreicht? Gibt es also ein Maximum?
> Das gleiche für Infimum...?
Unsere Folge ist doch monoton steigend. D.h. der kleinste Wert wird gleich zu Beginn erreicht für $n \ = \ 1$ mit $0_$.
Alle anderen Glieder sind größer als dieser Wert.
Was heißt das also für das Infimum (existiert eins?) und das Minimum?
Gruß vom
Roadrunner
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