Supremum, Infimum < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:08 Fr 08.12.2006 | | Autor: | MichiNes |
| Aufgabe | Bestimmen Sie für A und B jeweils Supremum und Infimum und entscheiden Sie, ob es sich dabei um ein Maximum bzw. Minimum handelt (also ob die Zahlen durch ein Element der Menge realisiert werden.
A = { [mm] \bruch{x^{2}}{x^{2}+1} [/mm] : x [mm] \in \IR [/mm] }
B = { x + [mm] \bruch{1}{x} [/mm] : x > 0 } |
Hallo,
also ich hab sowas noch nie gemacht und hab deshalb auch relativ wenig Ahnung davon.
Ich sehe, dass sup(A) = 1 ist, da bin ich spontan auf die Idee gekommen, eine Folge zu konstruieren (da wir Funktionen noch nicht hatten) mit
[mm] a_{n} [/mm] = [mm] \bruch{n^{2}}{n^{2}+1} [/mm] .
Dann hab ich da [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_{n} [/mm] = 1 bewiesen und daraus gefolgert, dass sup(A) = 1 ist, aber 1 kein Maximum der Menge ist.
Kann man das denn so machen???
Für ne Antwort wär ich wie immer sehr dankbar.
Grüße
Michi
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Bestimmen Sie für A und B jeweils Supremum und Infimum und
> entscheiden Sie, ob es sich dabei um ein Maximum bzw.
> Minimum handelt (also ob die Zahlen durch ein Element der
> Menge realisiert werden.
>
> A = { [mm]\bruch{x^{2}}{x^{2}+1}[/mm] : x [mm]\in \IR[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}
>
> B = { x + [mm]\bruch{1}{x}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
: x > 0 }
> Hallo,
>
> also ich hab sowas noch nie gemacht und hab deshalb auch
> relativ wenig Ahnung davon.
> Ich sehe, dass sup(A) = 1 ist, da bin ich spontan auf die
> Idee gekommen, eine Folge zu konstruieren (da wir
> Funktionen noch nicht hatten) mit
>
> [mm]a_{n}[/mm] = [mm]\bruch{n^{2}}{n^{2}+1}[/mm] .
>
> Dann hab ich da [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_{n}[/mm] = 1
> bewiesen und daraus gefolgert, dass sup(A) = 1 ist, aber 1
> kein Maximum der Menge ist.
> Kann man das denn so machen???
Hallo,
eben wollte ich schon schreiben: nein - aber ich habe mich eines besseren besonnen. Es hat nur alles ein wenig Begründungsbedarf:
Zunächst einmal hast Du sicher gezeigt, daß 1 eine obere Schranke ist.
Nun geht es darum, zu zeigen, daß es keine kleinere gibt.
Du hast eine Folge [mm] (a_n) [/mm] in A gefunden, welche gegen 1 konvergiert.
Angenommen, es gäbe eine obere Schranke mit s<1. Dann wäre [mm] \bruch{x^{2}}{x^{2}+1}< [/mm] s für alle x.
Die Konvergenz von [mm] (a_n) [/mm] sagt: zu [mm] \varepsilon:= [/mm] 1-s findet man ein [mm] n_0, [/mm] so daß für alle [mm] n>n_0
[/mm]
[mm] |\bruch{n^{2}}{n^{2}+1}-1|=1-\bruch{n^{2}}{n^{2}+1}< [/mm] 1-s
==> [mm] s<\bruch{n^{2}}{n^{2}+1} [/mm] für alle [mm] n>n_0.
[/mm]
Also ist s keine obere Schranke. Somit ist 1 die kleinste obere Schranke und somit das Supremum.
Ein Maximum ist die 1 nicht, weil sie nicht in der Menge liegt.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:38 Fr 08.12.2006 | | Autor: | MichiNes |
Hallo Angela,
danke dass du mich meiner annimmst. Aber ich hab noch ein paar Fragen:
Gehe ich richtig in der Annahme, dass du gemeint hast, dass meine Folge [mm] (a_{n}) [/mm] eine Teilmenge von A ist, eben diejenige, die mit natürlichen Zahlen arbeitet?
Dann muss ich jetzt also weitere Teilfolgen beachten (die nicht mit nat. Zahlen arbeiten (????)), die evtl. noch eine kleinere obere Schranke als 1 haben??? Das versteh ich nicht ganz....
Außerdem....warum gehst du in deinem Beweis plötzlich von [mm] |a_{n}-1| [/mm] zu [mm] 1-a_{n} [/mm] über ??
Gruß Michi
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>
> Gehe ich richtig in der Annahme, dass du gemeint hast, dass
> meine Folge [mm](a_{n})[/mm] eine Teilmenge von A ist, eben
> diejenige, die mit natürlichen Zahlen arbeitet?
Genau so .
> Dann muss ich jetzt also weitere Teilfolgen beachten (die
> nicht mit nat. Zahlen arbeiten (????)), die evtl. noch eine
> kleinere obere Schranke als 1 haben??? Das versteh ich
> nicht ganz....
Nein, Du brauchst keine weiteren Folgen. (Prinzipiell würde man sogar völlig ohne Folgen auskommen.)
Die Folge benötigst Du für nichts anderes als dafür, zu zeigen, daß es eben KEINE kleinere Schranke geben kann.
Dazu habe ich angenommen, daß es eine obere Schranke s gibt, die kleiner als unser Supremumskandidat s ist, und mithilfe Deiner konvergenten Folge gezeigt, daß dies einen Widerspruch ergibt.
> Außerdem....warum gehst du in deinem Beweis plötzlich von
> [mm]|a_{n}-1|[/mm] zu [mm]1-a_{n}[/mm] über ??
Du hast bereits gezeigt (oder solltest gezeigt haben), daß 1 obere Schranke von A ist. Also ist [mm] 1\ge \bruch{x^2}{x^2+1} [/mm] für alle x, also auch für alle n.
Weil das so ist, ist [mm] a_{n}-1\le [/mm] 0, also ist der Betrag [mm] davon=-(a_{n}-1)=1-a_n.
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:28 Fr 08.12.2006 | | Autor: | Leni-H |
Hallo!
Ich wollte fragen, ob das einfach so geht, dass man von der Funktion auf eine Folge übergeht!? Kann man es nicht einfach direkt für die Funktion zeigen?
Zum einen ist ja zu zeigen, dass S=1 obere Schranke von A ist, d.h. dass gilt:
[mm] \bruch{x^{2}}{1+x^{2}} \le [/mm] 1 bzw. 1 - [mm] \bruch{x^{2}}{1+x^{2}} \ge [/mm] 0 für alle x.
Hier kann ich doch zeigen, dass 1 - [mm] \bruch{x^{2}}{1+x^{2}} [/mm] = [mm] \bruch{1+x^{2}-x^{2}}{1+x^{2}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{1+x^{2}} \ge [/mm] 0 , da [mm] x^{2}>0.
[/mm]
Dann hätte ich ja schonmal geueigt, dass S obere Schranke ist.
Nun müsste ich ja noch hzeigen, dass S kleinste obere Schranke ist, d.h. dass für alle S'<S ein x existiert mit x>S.
Aber wie kann ich diese Bedingung allgemein zeigen? Denn wenn ich jetzt nicht über die Folgen, sondern über die Funktion argumentiere, kann ich das mit dem [mm] \varepsilon [/mm] ja nicht machen.
Wie kann ich das denn zeigen?
LG Leni
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> Hallo!
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> Ich wollte fragen, ob das einfach so geht, dass man von der
> Funktion auf eine Folge übergeht!? Kann man es nicht
> einfach direkt für die Funktion zeigen?
Hallo,
doch, das kann man, und so würde ich das spontan auch angehen.
>
> Zum einen ist ja zu zeigen, dass S=1 obere Schranke von A
> ist, d.h. dass gilt:
> [mm]\bruch{x^{2}}{1+x^{2}} \le[/mm] 1 bzw. 1 -
> [mm]\bruch{x^{2}}{1+x^{2}} \ge[/mm] 0 für alle x.
> Hier kann ich doch zeigen, dass 1 - [mm]\bruch{x^{2}}{1+x^{2}}[/mm]
> = [mm]\bruch{1+x^{2}-x^{2}}{1+x^{2}}[/mm] = [mm]\bruch{1}{1+x^{2}} \ge[/mm]
> 0 , da [mm]x^{2}>0.[/mm]
>
> Dann hätte ich ja schonmal geueigt, dass S obere Schranke
> ist.
Ja.
> Nun müsste ich ja noch hzeigen, dass S kleinste obere
> Schranke ist, d.h. dass für alle S'<S ein x existiert mit
> x>S.
x>S' meinst Du sicher.
>
> Aber wie kann ich diese Bedingung allgemein zeigen? Denn
> wenn ich jetzt nicht über die Folgen, sondern über die
> Funktion argumentiere, kann ich das mit dem [mm]\varepsilon[/mm] ja
> nicht machen.
> Wie kann ich das denn zeigen?
Du guckst scharf drauf, experimentierst ein bißchen, bis Du ein passendes x gefunden hast.
Wir nehmen also an, daß es eine weitere obere Schranke S' gibt mit s'<1.
Mit [mm] x:=\wurzel{\bruch{2s'}{1-s'}} [/mm] erhältst Du z.B. das Gewünschte.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:32 Fr 08.12.2006 | | Autor: | Leni-H |
Hi!
Ich verstehe nicht ganz, warum du jetzt ein x definierst und zu was das führen soll.
Muss ich die Bedingung, dass S kleinste obere Schranke ist, nicht irgendwie durch Wiederspruch zeigen, so nach dem Motto: Angenommen es gäbe eine kleinere Schranke S' mit [mm] \bruch{x^{2}}{1+x^{2}} [/mm] und dann irgendwie zu einem Widerspruch kommen?
LG Leni
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> Muss ich die Bedingung, dass S kleinste obere Schranke ist,
> nicht irgendwie durch Wiederspruch zeigen, so nach dem
> Motto: Angenommen es gäbe eine kleinere Schranke S' mit
> [mm]\bruch{x^{2}}{1+x^{2}}[/mm] und dann irgendwie zu einem
> Widerspruch kommen?
Das hast Du haargenau richtig gesagt.
Ich nehme an, daß s'<1 auch eine obere Schranke für die Menge A ist, und dann ziehe ich ein Element der Menge aus dem Hut, welches größer ist als s'.
Zum Bauen diese Elemntes brauche ich mein $ [mm] x:=\wurzel{\bruch{2s'}{1-s'}} [/mm] $
Es ist [mm] \bruch{(\wurzel{\bruch{2s'}{1-s'}})^2}{(\wurzel{\bruch{2s'}{1-s'}})^2+1} \in [/mm] A
und es ist
[mm] \bruch{(\wurzel{\bruch{2s'}{1-s'}})^2}{(\wurzel{\bruch{2s'}{1-s'}})^2+1}>...>s'
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:03 Fr 08.12.2006 | | Autor: | Leni-H |
sorry, ich komm irgendwie voll nicht mit, weils deine Brüche usw nicht anzeigt!
Wieso definierst du einfach ein X? Ich komm irgendwie nicht mit....
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> sorry, ich komm irgendwie voll nicht mit, weils deine
> Brüche usw nicht anzeigt!
Ich hab's bearbeitet, jetzt kannst Du alles lesen.
> Wieso definierst du einfach ein X? Ich komm irgendwie
> nicht mit....
Ich definiere es mir, weil ich es gebrauchen kann.
Wenn Dich das Wort "definiere" nervös macht, sage ich einfach:
"Ich nehme mir die Zahl [mm] x:=\wurzel{\bruch{2s'}{1-s'}} [/mm] und setze sie in [mm] \bruch{x^2}{x^2+1} [/mm] ein."
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:34 Fr 08.12.2006 | | Autor: | Leni-H |
Achso, ok. Du willst dann also zeigen, dass wenn du dieses x nimmst, dass es dann größer ist als S', oder?
Wir haben das jetzt mal ausgerechnet. x= [mm] \wurzel{\bruch{2s'}{1-s'}} [/mm] eingesetz in die Formel ergibt dann am Ende [mm] \bruch{2s'}{1+s'}. [/mm] Ist das richtig? Jetzt muss ich noch abschätzen.
Es ist ja [mm] \bruch{2s'}{1+s'} \ge \bruch{s'}{1+s'} \ge [/mm] .... ?
Wie kann ich hier weiter abschätzen?
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> Achso, ok. Du willst dann also zeigen, dass wenn du dieses
> x nimmst, dass es dann größer ist als S', oder?
Nahezu Volltreffer. Daß mit diesem x der fragliche Bruch, also [mm] \bruch{x^2}{x^2+1} [/mm] größer ist als s'. Das meintest Du sicher auch.
> Wir haben das jetzt mal ausgerechnet. x=
> [mm]\wurzel{\bruch{2s'}{1-s'}}[/mm] eingesetz in die Formel ergibt
> dann am Ende [mm]\bruch{2s'}{1+s'}.[/mm] Ist das richtig? Jetzt muss
> ich noch abschätzen.
> Es ist ja [mm]\bruch{2s'}{1+s'}[s] \ge \bruch{s'}{1+s'} [/s] \ge[/mm] ....
> ?
> Wie kann ich hier weiter abschätzen?
Für die Abschätzung verwendest Du s'<1. (Weil wir ja angenommen hatten, daß es eine kleinere untere Schranke als 1 ist.)
==>s'+1<2 [mm] ==>\bruch{1}{s'+1}>...
[/mm]
Das kannst du nun oben verwenden.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:16 Fr 08.12.2006 | | Autor: | Leni-H |
Ja, dann ist ja [mm] \bruch{2S'}{1+S'} [/mm] > [mm] \bruch{S'}{1+S'} [/mm] = S' * [mm] \bruch{1}{1+S'} [/mm] > S' * [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
Aber S' * [mm] \bruch{1}{2} [/mm] ist ja nicht größer als S'........
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> Ja, dann ist ja [mm]\bruch{2S'}{1+S'}[/mm] > [mm]\bruch{S'}{1+S'}[/mm] = S' *
> [mm]\bruch{1}{1+S'}[/mm] > S' * [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
>
> Aber S' * [mm]\bruch{1}{2}[/mm] ist ja nicht größer als S'........
Tja, da hast Du wohl etwas zu grob abgeschätzt...
Meine Güte, wenn man den Faktor [mm] \bruch{1}{2} [/mm] zuviel hat, was macht man dann? Hilflos heulen? Nee, man guckt, ob man nicht irgendwie 'ne 2 zum Ausgleich herkriegt.
Fang nochmal hiermit an
[mm] \bruch{2S'}{1+S'} [/mm] und verwerte Deine Informationen directement.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:02 Fr 08.12.2006 | | Autor: | Leni-H |
Ja ok, Danke!
Ich hab halt einfach für so was nicht den direkten Blick wie du. Darum musste ich so oft nachfragen. Sorry!
Könntest du mir noch kurz sagen, mit welchem Trick du auf deine Definition für x gekommen bist, so dass es nachher gepasst hat. Weil ich muss das ganze ja noch fürs Infinum und für die Menge B (Sup + Inf) machen und hierzu sollte ich ja x auch irgendwie definieren. Nur irgendwie einen kleinen Ansatz wie dus in diesem Fall gemacht hast, sodass ichs für die anderen selber evtl. hinkriegen kann.
Danke!
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> Ich hab halt einfach für so was nicht den direkten Blick
> wie du.
Das ist mir völlig klar. Ich mache das ja auch schon länger.
>Darum musste ich so oft nachfragen. Sorry!
Nachfragen ist grundsätzlich in Ordnung.
Nur - manchmal muß man den Groschen langsam fallen lassen und sich etwas Zeit nehmen dafür. (jaja, ich weiß: die Abgabetermine)
> Könntest du mir noch kurz sagen, mit welchem Trick du auf
> deine Definition für x gekommen bist, so dass es nachher
> gepasst hat.
Ja, den Trick verrate ich Dir gerne.
Es ist derselbe Trick, den man ständig anwendet, z.B. auch, wenn man ein passendes [mm] n_0 [/mm] zum [mm] \varepsilon [/mm] sucht.
Ich schreibe mir auf, was ich haben will, rechne ich auf einem geheimen Schmierzettel zurück, gucke ob's schon paßt, oder ob ich noch etwas feilen muß.
Im akuten Fall startete ich mit [mm] \bruch{x^2}{x^2+1}>s'.
[/mm]
Ich glaube, ich hatte da [mm] x>\wurzel{\bruch{s}{s+1}} [/mm] ausgerechnet.
Na, da hab' ich halt ein x genommen, welches garantiert größer ist, nämlich mein [mm] x:=\wurzel{\bruch{2s}{s+1}}.
[/mm]
In der Vorlesung sieht so etwas dann immer aus wie Einflüsterungen aus dem Himmel, ist aber alles im stillen Kämmerlein vorbereitet.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:15 Fr 08.12.2006 | | Autor: | Leni-H |
Hallo Angela!
Vielen Dank. Ich hab jetzt das Infimum von A hinbekommen und auch das Supremum von B (dieses ist ja [mm] \infty [/mm] , so dass ich gar keine Schranke angeben muss). Jetzt häng ich aber beim Infimum von B. Ich hab schon gezeigt, dass2 untere Schranke ist. Jetzt möcht ich noch zeigen, dass [mm] x+\bruch{1}{x} [/mm] < S' ist. Hier hab ich dann so weit wie möglich umgeformt und nach x aufgelöst. Ich muss dann die Mitternachtsformel anwenden und bekomme dann für x einen Term mit einer Wurzel. Das stellt sich aber beim späteren Einsetzen von x als schwierig heraus, da x hier ja nicht quadriert wird (wie bei A). Geht es auch anders oder muss ich mich mit der Wurzel zufrieden geben und später mit Wurzel abschätzen?
LG Leni
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:35 Sa 09.12.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
Da du ja einen Wert, x=1 angeben kannst, wo die untere Schranke angenommen wird, ist direkt klar, dass es keine kleinere gibt. Sooo einfach ist das.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:01 Sa 09.12.2006 | | Autor: | MichiNes |
Moment mal:
Ich kann behaupten, dass sup(B) = [mm] \infty [/mm] ist, aber wie beweist man das?? Für alle x gilt: x [mm] \le \infty [/mm] ????????
klingt doch komisch? oder steh ich aufm schlauch??
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> Moment mal:
>
> Ich kann behaupten, dass sup(B) = [mm]\infty[/mm] ist, aber wie
> beweist man das?? Für alle x gilt: x [mm]\le \infty[/mm] ????????
> klingt doch komisch?
Hallo,
damit, daß es komisch klingt, könnte man leben, nur - es wird auch auf wenig Gegenliebe stoßen...
Entweder kannst Du sagen, die Folge [mm] (b_n) [/mm] in B mit [mm] b_n:=n+\bruch{1}{n}-----> \infty, [/mm] und daher hat B keine obere Schranke.
Oder Du zeigst es per Widerspruch (was ich selbst bevorzugen würde).
Angenommen s wäre eine obere Schranke.
Und nun zeigst Du ein Element der Menge vor, welches größer ist als s, womit Du fdann Deinen Widerspruch hast.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:01 Sa 09.12.2006 | | Autor: | MichiNes |
Zunächst einmal:
Normalerweise mach ich das mit Leni zusammen. Allerdings ist die grad weg und ich versuch das ma alleine zu kapieren.
Also ich bin jetzt so weit:
Behauptung: sup(B) = [mm] +\infty
[/mm]
Beweis:
Angenommen es existiert ein S mit b<S für alle b
==> [mm] x+\bruch{1}{x}
und wenn das für alle x gilt darf ich auch S selbst einsetzen:
==> [mm] S+\bruch{1}{S}>S [/mm] , da S ja immer positiv ist.
==> [mm] sup(B)=+\infty
[/mm]
Kann man das so machen? Klingt find ich wieder n bisschen simpel 
Grüße
Michi
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Juchhu! Ich bin begeistert!
Einen schönen 2.Advent Euch wackeren Mathematikern und
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:34 So 10.12.2006 | | Autor: | Leni-H |
Ja, aber ich muss das ja irgendwie allgemein zeigen Ich kann ja nicht irgendwelche Werte einsetzen, es könnte ja sein, dass es eben genau für diese Werte stimmt und für ein paar andere nicht, oder?
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:38 So 10.12.2006 | | Autor: | Leni-H |
Hi Leduart!
Ich habs jetzt verstanden, was du gesagt hast! Wenn ein Wert diese untere Schranke annimmt, kann es keine größere untere Schranke geben.... Cool, ich habs gecheckt
Dann könnte ich ja immer so argumentieren, wenn der Sup bzw. Inf gleichzeitig das Max bzw Min der Menge ist, also wenn es einen Wert gibt, der das Sup bzw. Inf annimmt, oder? Andernfalls wenn Sup nicht Max ist bzw. Inf nicht Min ist, muss ich so vorgehen, wies Angela gesagt hat, richtig?
LG!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:13 So 10.12.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Leni
![[zustimm]](/images/smileys/zustimm.gif "[zustimm]") 100% richtig!
Gruss leduart
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