Supremum i.i.d. Zufallsvar. < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Guten Abend!
Ich habe Schwierigkeiten, die Lösung einer (meiner Meinung nach) sehr wichtigen Aufgabe, die in einer anderen Version in der Klausur gestellt werden könnte, zu verstehen. Ich hoffe, mir kann da jemand ein paar Fragen beantworten!
Aufgabe
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Seien $X_{1}, \ldots, X_{n}$ unabhängige reelle Zufallsvariablen und identisch verteilt, d.h. die Verteilungsfunktion $F$ von $X_{n}$ hängt nicht von $n \in \mathbb{N}$ ab. Ferner sei $K$ eine von $(X_{n})_{n \in \mathbb{N}$ unabhängige Zufallsvariable, die Poisson- verteilt sei mit Paramater $\alpha \in (0, \infty)$, d.h. $\mathbb{P}(K = k) = \frac{e^{- \alpha} \alpha^{k}}{k!}$ für alle $k \in \mathbb{N}_{0}$.
Betrachte die (numerischen) Zufallsvariablen $S := sup \{ X_{j}\; \vert \; 1 \le j \le K \}$ und $I := inf\{ X_{j}\; \vert \; 1 \le j \le K \}$
mit den üblichen Konventionen $sup(\emptyset) := - \infty$ und $inf(\emptyset) := \infty$
a) Zeige: Für alle $x,y \in \mathbb{R}$ gilt $\mathbb{P}(S \le x) = e^{- \alpha (1 - F(x))}$ und $\mathbb{P}(I \le y) = 1 - e^{- \alpha F(y)}$. Was ist $\lim\limits_{x \to - \infty} \mathbb{P}(S \le x)$ und $\lim\limits_{y \to - \infty} \mathbb{P}(I \le y)$ ?
b) Zeige: Für alle $x,y \in \mathbb{R}$ gilt $\mathbb{P}(S \le x, I \le y) = e^{- \alpha (1 - F(x))} - e^{- \alpha (1- (F(x) - F(y)))^{+}}$, wobei $t^{+} := max(t,0)$ der Positivteil von $t \in \mathbb{R}$ ist.
Was ist $\lim\limits_{x \to - \infty} \mathbb{P}(S \le x, I \le y)$ und $\lim\limits_{y \to \infty} \mathbb{P}(S \le x, I \le y)$?
Lösung
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Zu (a)
$\mathbb{P}(S \le x) = \mathbb{P}(S \le x, k \in \mathbb{N}_{0}) = \sum\limits_{k = 0}^{\infty} \mathbb{P} (S \le x, K = k) = \mathbb{P}(K = 0, - \infty \le x) + \sum\limits_{k = 1}^{\infty} \mathbb{P}(K = k, X_{1} \le x, X_{2} \le x, \ldots, X_{k} \le x) $
$ = \mathbb{P}(K = 0)) + \sum\limits_{k = 1}^{\infty} \mathbb{P}(K = k) \cdot \mathbb{P}(X_{1} \le x) \cdot \ldots \cdot \mathbb{P}(X_{k} \le x) = \mathbb{P}(K = 0)) + \sum\limits_{k = 1}^{\infty} \mathbb{P}(K = k) \cdot F(x) \cdot \ldots \cdot F(x)$
$ = \mathbb{P}(K = 0) + \sum\limits_{k = 1}^{\infty} \mathbb{P}(K = k) F(x)^{k} = e^{- \alpha} + \sum\limits_{k = 1}^{\infty} \frac{e^{- \alpha} \alpha^{k}}{k!} F(x)^{k} = e^{- \alpha} \left ( \sum\limits_{k = 0}^{\infty} \frac{(\alpha F(x))^{k}}{k!} \right ) = e^{- \alpha F(x)}$
$ = e^{- \alpha (1 - F(x))}$
Der Fall $\mathbb{P}(I \le y) = 1 - e^{- \alpha F(y)}$ soll analog funktionieren.
Belassen wir es zunächst Mal bei der a). Ich verstehe 1-2 Gleichungen nicht, weil ich teilweise die Schreibweise nicht verstehe.
1. Frage:
Was bedeutet genau $\mathbb{P}(S \le x, k \in \mathbb{N})$?
Der Tutor meinte, es ist $\mathbb{P}(S \le x, k \in \mathbb{N}) = \mathbb{P}(S \le x, \bigcup\limits_{k \in \mathbb{N}_{0}} \{K = k \}) $. Aber gibt es eine allgemeine Notation dafür, so dass ich mir damit diese Gleichheit herleiten kann?
Oder was heißt z.B. $\mathbb{P}(S \le x, I > y)$? Einfach nur $\mathbb{P} (\{ S \le x \} \cap \{ I > y \})$? Die Notation verwirrt mich an dieser Stelle.
2. Frage: Wie kommt man auf diese Gleichung $ \sum\limits_{k = 0}^{\infty} \mathbb{P} (S \le x, K = k) = \mathbb{P}(K = 0, - \infty \le x) + \sum\limits_{k = 1}^{\infty} \mathbb{P}(K = k, X_{1} \le x, X_{2} \le x, \ldots, X_{k} \le x) $
$ = \mathbb{P}(K = 0)) + \sum\limits_{k = 1}^{\infty} \mathbb{P}(K = k) \cdot \mathbb{P}(X_{1} \le x) \cdot \ldots \cdot \mathbb{P}(X_{k} \le x)$ ?
Mir fehlen zu viele Zwischenschritte (bedingt auch durch die Notation, die ich nicht verstehe), um die Gleichheiten nachzuvollziehen. Die restlichen Gleichheiten sind mir klar. Würde mich auf eine Antwort sehr freuen!
Lg, Inkeddude
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Hiho,
> $ = [mm] \mathbb{P}(K [/mm] = 0) + [mm] \sum\limits_{k = 1}^{\infty} \mathbb{P}(K [/mm] = k) [mm] F(x)^{k} [/mm] = [mm] e^{- \alpha} [/mm] + [mm] \sum\limits_{k = 1}^{\infty} \frac{e^{- \alpha} \alpha^{k}}{k!} F(x)^{k} [/mm] = [mm] e^{- \alpha} \left ( \sum\limits_{k = 0}^{\infty} \frac{(\alpha F(x))^{k}}{k!} \right [/mm] ) = [mm] e^{- \alpha F(x)} [/mm] $
Vorab: Hier muss es nach dem letzten Gleichheitszeichen natürlich [mm] $e^{-a}e^{ \alpha F(x)}$ [/mm] heißen.
> 1. Frage:
>
> Was bedeutet genau [mm]\mathbb{P}(S \le x, k \in \mathbb{N})[/mm]?
Es muss ein großes K sein, also:
[mm]\mathbb{P}(S \le x, K \in \mathbb{N}_0)[/mm]
> Oder was heißt z.B. [mm]\mathbb{P}(S \le x, I > y)[/mm]? Einfach
> nur [mm]\mathbb{P} (\{ S \le x \} \cap \{ I > y \})[/mm]? Die
> Notation verwirrt mich an dieser Stelle.
Ja. Stochastiker sind faul und schreiben statt [mm] \cap [/mm] einfach ein Komma.
Das ist aber immer so, denn eigentlich ist ja auch schon [mm] $P(S\ge [/mm] x)$ eine Notationskonvention. $P$ ist ja ein Wahrscheinlichkeitsmaß und da stecken Mengen drin und Mengen schreibt man mit geschweiften Klammern.
Korrekt wäre also [mm] $P(\{S \ge x\})$ [/mm] zu schreiben, macht aber niemand…
Und anstatt [mm] $P\left(\{S \ge x\} \cap \{I > y\}\right)$ [/mm] schreibt der Stochastiker dann eben kurz $P(S [mm] \ge [/mm] x, I > y)$
Ganz allgemein: Der Trick die Wahrscheinlichkeit in Teilmengen aufzuspalten, wird dir immer wieder unterkommen.
Die Idee dahinter ist folgende: Nehmen wir an wir haben eine disjunkte Zerlegung der Gesamtmenge [mm] $\Omega$ [/mm] durch Mengen [mm] $A_k$, [/mm] also [mm] $\Omega [/mm] = [mm] \bigcup_{k=0}^\infty A_k$
[/mm]
Dann gilt ja: [mm] $P(\Omega) [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^\infty P(A_k)$
[/mm]
Das gilt aber auch für den Schnitt mit einer beliebigen Teilmenge $B$. Da [mm] $\Omega$ [/mm] ja die Gesamtmenge ist, gilt trivialerweise $P(B) = P(B [mm] \cap \Omega)$ [/mm] und damit $P(B) = P(B [mm] \cap \Omega) [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^\infty [/mm] P(B [mm] \cap A_k)$
[/mm]
Das ist die Idee bei der Umformung. Da $K$ nur Werte in den natürlichen Zahlen annimmt, gilt eben [mm] $\Omega [/mm] = [mm] \{K \in \mathbb{N}_0\}$, [/mm] denn es gibt keine anderen Werte, die $K$ annehmen kann. Nun schließt es sich aber aus, dass $K$ gleichzeitig zwei unterschiedliche Werte annehmen kann, d.h. setze ich [mm] $A_k [/mm] = [mm] \{K = k\}$ [/mm] so habe ich eine disjunkte Zerlegung von [mm] $\Omega$ [/mm] gefunden und kann obiges anwenden.
Das liefert schonmal:
$ [mm] \mathbb{P} [/mm] (S [mm] \le [/mm] x) = [mm] \sum\limits_{k = 0}^{\infty} \mathbb{P} [/mm] (S [mm] \le [/mm] x, K = k) $
> 2. Frage: Wie kommt man auf diese Gleichung [mm]\sum\limits_{k = 0}^{\infty} \mathbb{P} (S \le x, K = k) = \mathbb{P}(K = 0, - \infty \le x) + \sum\limits_{k = 1}^{\infty} \mathbb{P}(K = k, X_{1} \le x, X_{2} \le x, \ldots, X_{k} \le x) [/mm]
>
> [mm]= \mathbb{P}(K = 0)) + \sum\limits_{k = 1}^{\infty} \mathbb{P}(K = k) \cdot \mathbb{P}(X_{1} \le x) \cdot \ldots \cdot \mathbb{P}(X_{k} \le x)[/mm]
> ?
>
> Mir fehlen zu viele Zwischenschritte (bedingt auch durch
> die Notation, die ich nicht verstehe), um die Gleichheiten
> nachzuvollziehen. Die restlichen Gleichheiten sind mir
> klar. Würde mich auf eine Antwort sehr freuen!
Dazu überlegst du dir jetzt mal folgendes: Es gilt ja $S = [mm] \sup \{ X_{j}\; \vert \; 1 \le j \le K \} [/mm] $
Nun ist K ja eine Zufallsvariable. ABER: Im Ausdruck [mm] $\mathbb{P} [/mm] (S [mm] \le [/mm] x, K = k)$ ist ja festgelegt, dass $K=k$ ist, d.h. wir haben:
[mm] $\{S \le x, K = k\} [/mm] = [mm] \left \{ \sup \{ X_{j}\; \vert \; 1 \le j \le K \} \le x, K=k \right \} [/mm] = [mm] \left \{ \sup \{ X_{j}\; \vert \; 1 \le j \le k \} \le x, K=k \right \} [/mm] $
Nun überlege mal, genau wann $ [mm] \sup \{ X_{j}\; \vert \; 1 \le j \le k \} \le [/mm] x$ gilt.
Gruß,
Gono
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo! Also erstmal vielen Dank für deine Antwort, du hast mir damit enorm weitergeholfen. Jetzt macht die erste Gleichung Sinn für mich.
Ich fasse das mal für mich kurz zusammen:
Die Zufallsvariable $K$ ist Poissonverteilt, d.h. sie ist per Definition eine Abbildung $K: \Omega \to \mathbb{N}_{0}}$ und es gilt $\mathbb{P}(K = k) = ... $
Es ist $ \Omega = K^{- 1} (\mathbb{N}_{0}) = K^{- 1} \left ( \dot{\bigcup\limits_{k \in \mathbb{N}_{0}}} \{ k \}} \right ) = \dot{\bigcup\limits_{k \in \mathbb{N}_{0}}} K^{- 1} (\{ k \}) = \dot{\bigcup\limits_{k \in \mathbb{N}_{0}}} \{ K = k \}$ (Disjunkte Mengen haben disjunkte Urbilder) und folglich
$\mathbb{P}(S \le x) = \mathbb{P}(\{ S \le x \}) = \mathbb{P}(\{ S \le x \} \cap \Omega ) = \mathbb{P}(\{ S \le x \} \cap \{ K \in \mathbb{N}_{0} \}) = \mathbb{P}(\{ S \le x \} \cap \dot{\bigcup\limits_{k \in \mathbb{N}_{0}}} \{ K = k \}) = \mathbb{P}(\dot{\bigcup\limits_{k \in \mathbb{N}_{0}}} \{ S \le x \} \cap \{ K = k \}) = \sum\limits_{k \in \mathbb{N}_{0}} \mathbb{P} (\{ S \le x \} \cap \{ K = k \}) = \sum\limits_{k \in \mathbb{N}_{0}} \mathbb{P} ( S \le x, K = k ) $
> Dazu überlegst du dir jetzt mal folgendes: Es gilt ja [mm]S = \sup \{ X_{j}\; \vert \; 1 \le j \le K \}[/mm]
>
> Nun ist K ja eine Zufallsvariable. ABER: Im Ausdruck
> [mm]\mathbb{P} (S \le x, K = k)[/mm] ist ja festgelegt, dass [mm]K=k[/mm]
> ist, d.h. wir haben:
>
> [mm]\{S \le x, K = k\} = \left \{ \sup \{ X_{j}\; \vert \; 1 \le j \le K \} \le x, K=k \right \} = \left \{ \sup \{ X_{j}\; \vert \; 1 \le j \le k \} \le x, K=k \right \}[/mm]
>
> Nun überlege mal, genau wann [mm]\sup \{ X_{j}\; \vert \; 1 \le j \le k \} \le x[/mm]
> gilt.
>
> Gruß,
> Gono
An dieser Stelle habe ich zwei Fragen.
Zunächst mal weiß ich nicht genau, was [mm] $Sup(\{ X_{j}\; \vert \; 1 \le j \le k \})$ [/mm] bedeuten soll. Das Supremum für Zahlenmengen kenne ich, aber hier haben wir eine Menge von Abbildungen. Sei jetzt $1 [mm] \le [/mm] l [mm] \le [/mm] k$ so, dass [mm] $X_{l} [/mm] = [mm] Sup(\{ X_{j}\; \vert \; 1 \le j \le k \})$. [/mm] Was gilt für [mm] $X_{l}$? [/mm] Einfach nur [mm] $X_{j}(\omega) \le X_{l}(\omega)\quad \forall \omega \in \Omega, \forall \; [/mm] 1 [mm] \le [/mm] j [mm] \le [/mm] k$?
Und was [mm] $Sup(\{ X_{j}\; \vert \; 1 \le j \le K \})$ [/mm] bedeutet, weiß ich auch nicht genau. Ich denke, man meint damit die Menge [mm] $Sup(\{ X_{j}\; \vert \; 1 \le j \le K(\omega)\quad \forall\; \omega \in \Omega \})$?
[/mm]
Weil dann hätten wir [mm] $Sup(\{ X_{j}\; \vert \; 1 \le j \le K \}) [/mm] = [mm] Sup(\{ X_{j}\; \vert \; 1 \le j \le K(\omega)\quad \forall\; \omega \in \Omega \}) [/mm] = [mm] Sup(\{ X_{j}\; \vert \; 1 \le j \le k\quad \forall\; k \in \mathbb{N}_{0} \} [/mm] = [mm] Sup(\{ X_{j}\; \vert \; j \in \mathbb{N}_{0} \}$.
[/mm]
Ich denke, wenn mir das klar ist, kann ich die Frage beantworten.
Lg, Inkeddude
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Hiho,
> An dieser Stelle habe ich zwei Fragen.
> Zunächst mal weiß ich nicht genau, was [mm]Sup(\{ X_{j}\; \vert \; 1 \le j \le k \})[/mm]
> bedeuten soll. Das Supremum für Zahlenmengen kenne ich,
> aber hier haben wir eine Menge von Abbildungen.
Korrekt, und da wir es mit Abbildungen zu tun haben, ist das folglich selbst wieder eine Abbildung und diese ist [mm] $\omega$-weise [/mm] definiert, d.h. es gilt:
[mm]Y = \sup(\{ X_{j}\; \vert \; 1 \le j \le k \}) \iff Y(\omega) = \sup(\{ X_{j}(\omega) \; \vert \; 1 \le j \le k \}) [/mm]
> Sei jetzt [mm]1 \le l \le k[/mm]
> so, dass [mm]X_{l} = Sup(\{ X_{j}\; \vert \; 1 \le j \le k \})[/mm].
So ein $l$ kann es geben, muss es aber nicht.
Denn es kann ja sein, dass für ein [mm] $\omega_a$ [/mm] gilt [mm] $X_1(\omega_a) [/mm] > [mm] X_2(\omega_a)$ [/mm] und für ein anderes [mm] $\omega_b$ [/mm] dann [mm] $X_1(\omega_a) [/mm] < [mm] X_2(\omega_a)$.
[/mm]
Dann wäre [mm] $Y=\sup\{X_1,X_2\}$ [/mm] weder identisch mit [mm] X_1 [/mm] noch mit [mm] X_2, [/mm] sondern mal so und mal so.
[mm]X_{l} = \sup(\{ X_{j}\; \vert \; 1 \le j \le k \})[/mm] gilt also nur dann, wenn [mm] $X_l \ge X_j, [/mm] 1 [mm] \le [/mm] j [mm] \le [/mm] k$ mit Wahrscheinlichkeit 1 gilt.
Aber: Für die Beantwortung meiner Frage reicht dein Zahlenverständnis vom Supremum.
Wenn du Zahlen hast [mm] $X_1, \ldots, X_k$, [/mm] genau wann gilt dann [mm] $\sup(\{ X_{j} \; \vert \; 1 \le j \le k \}) \le [/mm] x$?
Gruß,
Gono
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> Korrekt, und da wir es mit Abbildungen zu tun haben, ist
> das folglich selbst wieder eine Abbildung und diese ist
> [mm]\omega[/mm]-weise definiert, d.h. es gilt:
>
> [mm]Y = \sup(\{ X_{j}\; \vert \; 1 \le j \le k \}) \iff Y(\omega) = \sup(\{ X_{j}(\omega) \; \vert \; 1 \le j \le k \}) [/mm]
Ah okay, vielen Dank. Hätte man sich irgendwo denken können...
Dann zu deiner Frage:
> Wenn du Zahlen hast [mm]X_1, \ldots, X_k[/mm], genau wann gilt
> dann [mm]\sup(\{ X_{j} \; \vert \; 1 \le j \le k \}) \le x[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
?
Die Ungleichung gilt genau dann, wenn $X_{j} \le x$ für $1 \le j \le k$.
Random Frage:
Es ist $S := Sup(\{ X_{j}\; \vert \; 1 \le j \le K \})$.
Meint man mit $S(\omega) = Sup(\{ X_{j}(\omega)\; \vert \; 1 \le j \le K \})$ die Menge $Sup(\{ X_{j}(\omega) \; \vert \; 1 \le j \le K(\omega} \})$ ?
Ich bin inzwischen ein bisschen weiter gekommen, aber noch nicht auf die richtige Gleichung. Und zwar kam ich auf:
Es gilt:
$\{ S \le x, K = k \} = \{ S \le x \} \cap \{ K = k \} = \{ \omega \in \Omega\; \vert \; S(\omega) \le x \} \cap \{ \omega \in \Omega\; \vert \; K(\omega) = k \} = \{ \omega \in \Omega\; \vert \; Sup ( \{ X_{j}(\omega)\; \vert \; 1 \le j \le K(\omega) \} ) \le x \} \cap \{ \omega \in \Omega\; \vert \; K(\omega) = k \}
$\{ \omega \in \Omega\; \vert \; Sup ( \{ X_{j}(\omega)\; \vert \; 1 \le j \le K(\omega) \} ) \le x, K(\omega) = k \} = \{ \omega \in \Omega\; \vert \; Sup ( \{ X_{j}(\omega)\; \vert \; 1 \le j \le k \} ) \le x\}$
$= \{ \omega \in \Omega\; \vert \; X_{j}(\omega) \le x, 1 \le j \le k \} = \bigcap\limits_{j = 1}^{k} \{ \omega \in \Omega\; \vert \; X_{j} (\omega) \le x \} = \{ \omega \in \Omega\; \vert \; X_{j}(\omega) \le x, 1 \le j \le k \} = \bigcap\limits_{j = 1}^{k} \{ X_{j} \le x \} = \{ X_{1} \le x, X_{2} \le x, \ldots, X_{k} \le x \} $
Damit gilt:
$\mathbb{P}(S \le x) = \mathbb{P}(\{ S \le x \}) = \mathbb{P}(\{ S \le x \} \cap \Omega ) = \mathbb{P}(\{ S \le x \} \cap \{ K \in \mathbb{N}_{0} \}) = \mathbb{P}(\{ S \le x \} \cap \dot{\bigcup\limits_{k \in \mathbb{N}_{0}}} \{ K = k \}) = \mathbb{P}(\dot{\bigcup\limits_{k \in \mathbb{N}_{0}}} \{ S \le x \} \cap \{ K = k \}) = \sum\limits_{k \in \mathbb{N}_{0}} \mathbb{P} (\{ S \le x \} \cap \{ K = k \}) = \sum\limits_{k \in \mathbb{N}_{0}} \mathbb{P} ( S \le x, K = k )$
$ = \sum\limits_{k \in \mathbb{N}_{0}} \mathbb{P} ( X_{1} \le x, X_{2} \le x, \ldots, X_{k} \le x )$
Aber in der Lösung steht $\sum\limits_{k = 0}^{\infty} \mathbb{P} (S \le x, K = k) = \mathbb{P}(K = 0, - \infty \le x) + \sum\limits_{k = 1}^{\infty} \mathbb{P}(K = k, X_{1} \le x, X_{2} \le x, \ldots, X_{k} \le x)$.
Also es sieht schon ähnlich aus, aber da fehlt noch etwas. Ich sehe aber nicht, wo ich was falsch gemacht habe.
Lg, Inkeddude
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Hiho,
> Meint man mit [mm]S(\omega) = Sup(\{ X_{j}(\omega)\; \vert \; 1 \le j \le K \})[/mm]
> die Menge [mm]Sup(\{ X_{j}(\omega) \; \vert \; 1 \le j \le K(\omega} \})[/mm]
Ja.
Technisch gesehen ist die Anzahl von Xes im Sup also vom [mm] \omega [/mm] abhängig.
Vorab: Dein Ansatz ist völlig korrekt, du hast nur einen kleinen Fehler gemacht…
> [mm]$\{ S \le x, K = k \}[/mm] = [mm]\{ S \le x \} \cap \{ K = k \}[/mm] = [mm]\{ \omega \in \Omega\; \vert \; S(\omega) \le x \} \cap \{ \omega \in \Omega\; \vert \; K(\omega) = k \}[/mm]
> = [mm]\{ \omega \in \Omega\; \vert \; Sup ( \{ X_{j}(\omega)\; \vert \; 1 \le j \le K(\omega) \} ) \le x \} \cap \{ \omega \in \Omega\; \vert \; K(\omega) = k \}[/mm]
>
> [mm]\{ \omega \in \Omega\; \vert \; Sup ( \{ X_{j}(\omega)\; \vert \; 1 \le j \le K(\omega) \} ) \le x, K(\omega) = k \} [/mm]
Bis hierhin völlig korrekt.
[mm]= \{ \omega \in \Omega\; \vert \; Sup ( \{ X_{j}(\omega)\; \vert \; 1 \le j \le k \} ) \le x\}[/mm]
Die Gleichung ist nicht korrekt, denn du hast die Information verloren, dass $K=k$ gilt.
Und exakt diese Wahrscheinlichkeit fehlt dir nachher.
Tipp für die Summenumformung: [mm] $\{1 \le k \le 0\} [/mm] = [mm] \emptyset$ [/mm]
Gruß,
Gono
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Ah, mir geht jetzt ein Licht auf!
Du hast recht, ich habe Informationen weggelassen.
Ich denke, ich habe jetzt die Lösung verstanden.
Ich fasse es für mich und für zukünftige Leser kurz zusammen:
Für $k [mm] \in \mathbb{N}_{0}$ [/mm] gilt:
[mm] $\{ S \le x, K = k \} [/mm] = [mm] \{ S \le x \} \cap \{ K = k \} [/mm] = [mm] \{ \omega \in \Omega\; \vert \; S(\omega) \le x \} \cap \{ \omega \in \Omega\; \vert \; K(\omega) = k \}$ [/mm]
$ = [mm] \{ \omega \in \Omega\; \vert \; Sup ( \{ X_{j}(\omega)\; \vert \; 1 \le j \le K(\omega) \} ) \le x \} \cap \{ \omega \in \Omega\; \vert \; K(\omega) = k \}$
[/mm]
$ = [mm] \{ \omega \in \Omega\; \vert \; Sup ( \{ X_{j}(\omega)\; \vert \; 1 \le j \le K(\omega) \} ) \le x, K(\omega) = k \} [/mm] $
$= [mm] \{ \omega \in \Omega\; \vert \; Sup ( \{ X_{j}(\omega)\; \vert \; 1 \le j \le k \} ) \le x, K(\omega) = k \} [/mm] $
$ = [mm] \{ \omega \in \Omega\; \vert \; X_{j}(\omega) \le x, 1 \le j \le k, K(\omega) = k \}$
[/mm]
$ = [mm] \bigcap\limits_{j = 1}^{k} \{ \omega \in \Omega\; \vert \; X_{j}(\omega) \le x\} \cap \{\omega \in \Omega\; \vert \; K(\omega) = k \}$
[/mm]
$ = [mm] \{ X_{1} \le x, \ldots, X_{k} \le x, K = k \}$
[/mm]
Speziell für $k = 0$ gilt:
[mm] \{ S \le x, K = 0 \} [/mm] = [mm] \{ \omega \in \Omega\; \vert \; Sup ( \{ X_{j}(\omega)\; \vert \; 1 \le j \le 0 \} ) \le x, K(\omega) = 0 \} [/mm] = [mm] \{ \omega \in \Omega\; \vert \; Sup ( \emptyset ) \le x, K(\omega) = 0 \} [/mm] = [mm] \{ \omega \in \Omega\; \vert \; - \infty \le x, K(\omega) = 0 \} [/mm] = [mm] \{ \omega \in \Omega\; \vert \; - \infty \le x \} \cap \{ \omega \in \Omega\; \vert \; K(\Omega) = 0 \} [/mm] = [mm] \Omega \cap \{ \omega \in \Omega\; \vert \; K(\Omega) = 0 \} [/mm] = [mm] \{ \omega \in \Omega\; \vert \; K(\Omega) = 0 \} [/mm] = [mm] \{ K = 0 \}$ [/mm]
Hierbei ist [mm] $Sup(\emptyset)$ [/mm] eine Abbildung [mm] $Sup(\emptyset): \Omega \to \overline{R}, \omega \mapsto [/mm] - [mm] \infty, [/mm] d.h. [mm] $Sup(\emptyset)^{- 1}(- \infty) [/mm] = [mm] \Omega$. [/mm]
Somit folgt:
[mm] $\mathbb{P}(S \le [/mm] x) = [mm] \mathbb{P}(\{ S \le x \}) [/mm] = [mm] \mathbb{P}(\{ S \le x \} \cap \Omega [/mm] ) = [mm] \mathbb{P}(\{ S \le x \} \cap \{ K \in \mathbb{N}_{0} \}) [/mm] = [mm] \mathbb{P}(\{ S \le x \} \cap \dot{\bigcup\limits_{k \in \mathbb{N}_{0}}} \{ K = k \}) [/mm] = [mm] \mathbb{P}(\dot{\bigcup\limits_{k \in \mathbb{N}_{0}}} \{ S \le x \} \cap \{ K = k \}) [/mm] = [mm] \sum\limits_{k \in \mathbb{N}_{0}} \mathbb{P} (\{ S \le x \} \cap \{ K = k \}) [/mm] = [mm] \sum\limits_{k \in \mathbb{N}_{0}} \mathbb{P} [/mm] ( S [mm] \le [/mm] x, K = k )$
$= [mm] \sum\limits_{k \in \mathbb{N}} \mathbb{P} [/mm] ( S [mm] \le [/mm] x, K = k ) + [mm] \mathbb{P} [/mm] ( S [mm] \le [/mm] x, K = 0 ) = [mm] \sum\limits_{k \in \mathbb{N}} \mathbb{P} [/mm] ( S [mm] \le [/mm] x, K = k ) + [mm] \mathbb{P} [/mm] ( K = 0 ) = [mm] \sum\limits_{k \in \mathbb{N}} \mathbb{P} [/mm] ( [mm] X_{1} \le [/mm] x, [mm] \ldots, X_{k} \le [/mm] x, K = k) + [mm] \mathbb{P} [/mm] ( K = 0 )$
Und weil alle Zufallsvariablen $K, [mm] X_{1}, X_{2}, \ldots$ [/mm] unabhängig voneinander sind, gilt
$ [mm] \sum\limits_{k \in \mathbb{N}} \mathbb{P} [/mm] ( S [mm] \le [/mm] x, K = k ) + [mm] \mathbb{P} [/mm] ( K = 0 ) = [mm] \sum\limits_{k \in \mathbb{N}} \mathbb{P}(K [/mm] = k) [mm] \prod\limits_{j = 1}^{k} \mathbb{P}(X_{j} \le [/mm] x) + [mm] \mathbb{P} [/mm] ( K = 0 )$
Und weil die Zufallsvariablen [mm] $X_{1}, X_{2}, \ldots$ [/mm] identisch verteilt sind, gilt
$ [mm] \sum\limits_{k \in \mathbb{N}} \mathbb{P}(K [/mm] = k) [mm] \prod\limits_{j = 1}^{k} \mathbb{P}(X_{j} \le [/mm] x) + [mm] \mathbb{P} [/mm] ( K = 0 ) = [mm] \sum\limits_{k \in \mathbb{N}} \mathbb{P}(K [/mm] = k) [mm] \prod\limits_{j = 1}^{k} [/mm] F(x) + [mm] \mathbb{P} [/mm] ( K = 0 ) = [mm] \sum\limits_{k \in \mathbb{N}} \mathbb{P}(K [/mm] = k) [mm] F(x)^{k} [/mm] + [mm] \mathbb{P} [/mm] ( K = 0 )$
Passt die ganze Argumentation soweit?
Und der Rest der Gleichung sollte klar sein.
Falls alles passen sollte, bedanke ich mich sehr bei dir.
Es gibt noch die Aufgabe b) und dazu habe ich auch eine Lösung. Die schaue mir aber jetzt mal eine Weile an, bevor ich dazu Fragen poste. Ich denke, dass ich die Lösung mit meinem jetzigen Wissen verstehen werde.
Lg, Inkeddude
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Hiho,
> Hierbei ist [mm]$Sup(\emptyset)$[/mm] eine Abbildung
> [mm]$Sup(\emptyset): \Omega \to \overline{R}, \omega \mapsto[/mm] -
> [mm]\infty,[/mm] d.h. [mm]$Sup(\emptyset)^{- 1}(- \infty)[/mm] = [mm]\Omega$.[/mm]
rein formal könnte man das so modellieren, aber so wie du das aufgeschrieben hast, ist das falsch.
Denn du schreibst deine Mengen ja [mm] $\omega$-weise [/mm] auf, d.h. von der Form [mm] $\{\omega \in \Omega | \text{Bedingung}(\omega)\}$
[/mm]
Und [mm] $\text{Bedingung}(\omega)$ [/mm] ist erst mal nur eine Aussage! Die ist entweder wahr oder falsch. Ist die Aussage wahr, gehört das [mm] $\omega$ [/mm] zu dieser Menge, sonst nicht.
Deine Aussage ist in diesem Fall hier für jedes [mm] $\omega$ [/mm] eine Ungleichung in [mm] $\IR$.
[/mm]
Aber für jedes [mm] $\omega$ [/mm] ist [mm] $\sup\{X_1(\omega), \ldots, X_k(\omega)\}$ [/mm] das normale Supremum (und hier sogar Maximum) über $k$ reelle Zahlen mit der Konvention [mm] $\sup(\emptyset) [/mm] = [mm] -\infty$, [/mm] welche im Fall $k=0$ greift.
Alles was du oben fürs Supremum geschrieben hast, trifft hier eher auf die Abbildung $S$ zu, die ist tatsächlich eine Abbildung $S: [mm] \Omega \to \overline{\IR}$.
[/mm]
Gruß,
Gono
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:20 So 17.07.2022 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Inkeddude,
ergänzend zu Gonos Antwort: Abgesehen vom Satz
> Hierbei ist [mm]$Sup(\emptyset)$[/mm] eine Abbildung
> [mm]$Sup(\emptyset): \Omega \to \overline{R}, \omega \mapsto[/mm] -
> [mm]\infty,[/mm] d.h. [mm]$Sup(\emptyset)^{- 1}(- \infty)[/mm] = [mm]\Omega$.[/mm]
den du ersatzlos streichen solltest, stimmen deine Überlegungen! ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
(Übrigens ist die separate Betrachtung von $k=0$ für weite Teile der Rechnung nicht nötig. Das gilt sowohl für deine Rechnungen als auch für die Musterlösung.)
Viele Grüße
Tobias
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