Supremum in Q < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:39 So 19.10.2008 | | Autor: | dorix |
| Aufgabe | Sei [mm] \sub\IQ\ (\wurzel{2}):=\left\{ a+b\wurzel{2}: a,b \in\IQ\sub \right\} [/mm] und [mm] M:=\left\{x\in\IQ\sub(\wurzel{2}): x<\wurzel{3}\right\}.
[/mm]
Bestimme supM. Besitzt M auch ein Maximum? |
Hallo,
ich habe angefangen: [mm] (a+b\wurzel{2})^2 [/mm] < 3 ...
[mm] \wurzel{2}<\bruch{-a^2 - 2b^2}{2ab}.
[/mm]
mein Problem ist, dass ich nicht "sehe", welches hier das Supremum in [mm] \sub\IQ\ [/mm] ist?
Kann mir bitte jemand einen Tipp geben, wie´s weiter geht?
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:16 Mo 20.10.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Meinst du zufällig
[mm] M:=\left\{x\in\IQ\sub(\wurzel{2}):\red{|}x\red{|}<\wurzel{3}\right\}.
[/mm]
Denn sonst macht das ganze keinen Sinn, da man (meiner Meinung nach) keine Beschränkung nach oben hinbekommt.
Marius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:35 Mo 20.10.2008 | | Autor: | statler |
Hi Marius,
deinen Einwand versteh ich nun wiederum nicht, weil was wird denn dadurch besser?
Gruß
Dieter
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:32 Mo 20.10.2008 | | Autor: | statler |
Hallo dorix!
> Sei [mm]\sub\IQ\ (\wurzel{2}):=\left\{ a+b\wurzel{2}: a,b \in\IQ\sub \right\}[/mm]
> und [mm]M:=\left\{x\in\IQ\sub(\wurzel{2}): x<\wurzel{3}\right\}.[/mm]
>
> Bestimme supM. Besitzt M auch ein Maximum?
M ist ja eine Teilmenge von [mm] \IR, [/mm] und ich gehe mal davon aus, daß du das Supremum von M in [mm] \IR [/mm] bestimmen sollst. In M liegen insbesondere auch die Elemente mit b = 0, und jede obere Schranke müßte doch auch eine obere Schranke dieser Teilmenge sein.
Hilft dir dieser Hinweis weiter? Was passiert, wenn du es in [mm] \IQ [/mm] suchst?
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
> ich habe angefangen: [mm](a+b\wurzel{2})^2[/mm] < 3 ...
> [mm]\wurzel{2}<\bruch{-a^2 - 2b^2}{2ab}.[/mm]
>
> mein Problem ist, dass ich nicht "sehe", welches hier das
> Supremum in [mm]\sub\IQ\[/mm] ist?
>
> Kann mir bitte jemand einen Tipp geben, wie´s weiter geht?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:53 Di 21.10.2008 | | Autor: | dorix |
hallo statler,
danke für die Antwort...
> M ist ja eine Teilmenge von [mm]\IR,[/mm] und ich gehe mal davon
> aus, daß du das Supremum von M in [mm]\IR[/mm] bestimmen sollst. In
> M liegen insbesondere auch die Elemente mit b = 0, und jede
> obere Schranke müßte doch auch eine obere Schranke dieser
> Teilmenge sein.
kann dann in [mm]\IQ[/mm] das supM=0 sein? weil für + [mm] \wurzel{2} [/mm] positiv <0, aber was ist mit - [mm] \wurzel{2} [/mm] ?
> Hilft dir dieser Hinweis weiter? Was passiert, wenn du es
> in IR suchst?
weiß nicht, ausßer 0 funktioniert nix. Da [mm]\IQ[/mm] Teilmenge von IR ist, ist doch auch in IR das supM=0. Und infM ex. nicht.
Oder bin ich völlig falsch
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:06 Mi 22.10.2008 | | Autor: | statler |
Guten Morgen!
> > M ist ja eine Teilmenge von [mm]\IR,[/mm] und ich gehe mal davon
> > aus, daß du das Supremum von M in [mm]\IR[/mm] bestimmen sollst. In
> > M liegen insbesondere auch die Elemente mit b = 0, und jede
> > obere Schranke müßte doch auch eine obere Schranke dieser
> > Teilmenge sein.
>
> kann dann in [mm]\IQ[/mm] das supM=0 sein? weil für + [mm]\wurzel{2}[/mm]
> positiv <0, aber was ist mit - [mm]\wurzel{2}[/mm] ?
[mm] \wurzel{2} [/mm] liegt doch offensichtlich in M und ist > 0, also kann 0 keine obere Schranke sein.
> > Hilft dir dieser Hinweis weiter? Was passiert, wenn du es
> > in [mm] \IR [/mm] suchst?
>
> weiß nicht, ausßer 0 funktioniert nix. Da [mm]\IQ[/mm] Teilmenge von
> [mm] \IR [/mm] ist, ist doch auch in [mm] \IR [/mm] das supM=0. Und infM ex.
> nicht.
> Oder bin ich völlig falsch
Das Infimum existiert nicht, das ist richtig. Aber in [mm] \IR [/mm] ist doch [mm] \wurzel{3} [/mm] offenbar eine obere Schranke, das steht in der Definition von M. Die Frage ist, ob es auch die kleinste ist. Wie nahe kommt man mit Elementen aus M an [mm] \wurzel{3} [/mm] ran?
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
|
|
|
|
