Supremum und Infimum < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:04 Mi 14.12.2011 | | Autor: | vivicz |
| Aufgabe | | Man entscheide ob folgende Menge M2: [ [mm] 1-(((-1)^n)/n)] [/mm] nach oben bzw unten beschränkt sind und bestimmen Sie ggf ihre Suprema und Infima: Besitzt die Menge ein Maximum oder Minimum? |
Ich habe die Menge in 2 Teilmengen unterteilt A2n und A2n+1. Dann sehen sie so aus:
A 2n = [ 1-1/2n]
A 2n+1 = [1+1/2n+1]
wie muss cih weiter vorgehen?
Ich denke sup = 4/3 und infimum ist 1/2
Und wie zeige ich die beschränktheit..?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:45 Mi 14.12.2011 | | Autor: | Helbig |
> Man entscheide ob folgende Menge M2: [ [mm]1-(((-1)^n)/n)][/mm] nach
> oben bzw unten beschränkt sind und bestimmen Sie ggf ihre
> Suprema und Infima: Besitzt die Menge ein Maximum oder
> Minimum?
> Ich habe die Menge in 2 Teilmengen unterteilt A2n und
> A2n+1. Dann sehen sie so aus:
> A 2n = [ 1-1/2n]
> A 2n+1 = [1+1/2n+1]
> wie muss cih weiter vorgehen?
> Ich denke sup = 4/3 und infimum ist 1/2
>
> Und wie zeige ich die beschränktheit..?
Wenn die Menge Supremum und Infimum hat, ist sie auch beschränkt, denn das Supremum ist laut Definition eine obere und das Infimum eine untere Schranke.
Laut Aufgabe sollst Du aber zunächst nur die Beschränktheit zeigen und nicht mit Supremum und Infimum anfangen. Hierzu reicht es, irgendeine obere Schranke und irgendeine untere Schranke anzugeben, z. B. $-2$ und $+2$. Dann zeige durch eine Ungleichungskette, daß $-2$ eine untere und $+2$ eine obere Schranke ist. Und schon ist der erste Teil der Aufgabe fertig.
Wenn Du nun im zweiten Teil zeigst, daß $s$ ein Supremum ist, rate erst mal, was $s$ sein könnte. Wenn Du was geraten hast, beweise, daß $s$ ein Supremum ist. Hierzu mußt Du zeigen, daß $s$ obere Schranke ist, und daß Du zu jedem [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ ein Element [mm] $a\in [/mm] A$ findest, so daß [mm] $s-\epsilon
Übrigens ist $4/3$ kein Supremum von [mm] $M_2$, [/mm] da für $n=1$ das Element
[mm] $1-(-1)^1=2\in M_2$ [/mm] ist. Wegen $2>4/3$ ist $4/3$ keine obere Schranke von [mm] $M_2$ [/mm] und damit nicht das Supremum von [mm] $M_2$.
[/mm]
Schreib Dir am besten mal die Elemente von [mm] $M_2$ [/mm] für $n=1, 2, ... 5$ auf.
Gruß,
Wolfgang
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