Supremum und In fimum < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | 1) Es sei A [mm] \subset \IR. [/mm] Beweisen Sie: b ist genau dann das Supremum von A, wenn die folgenden beiden Bedingungen erfüllt sind:
a) für alle x [mm] \in [/mm] A gilt x [mm] \le [/mm] b
ii) zu jeder reelen Zahl [mm] \varepsilon [/mm] > 0 existiert ein x [mm] \in [/mm] A mit b - [mm] \varepsilon [/mm] < x [mm] \le [/mm] b.
2) Formulieren und beweisen Sie ein analoges Kriterium für das Infimum von A.
3) Bestimmen Sie zu den folgenden Teilmengen von [mm] \IR [/mm] gegebenenfalls Supremum, Infimum, Maximum und Minimum
a) A := [mm] \{x \in \IR | 0\le x >7,5\}
[/mm]
b) B := [mm] \{2^(-m) +n^(-1) |m,n \in \IN \} [/mm] |
Hier meine Ansätze:
1) Wie soll ich da vorgehen?
2)
b ist genau dann das Infimum von A, wenn die folgenden beiden Bedingungen erfüllt sind:
a) Für alle x [mm] \in [/mm] A gilt x [mm] \ge [/mm] b
b) zu jeder reelen Zahl [mm] \varepsilon [/mm] > 0 existiert ein x [mm] \in [/mm] A mit b + [mm] \varepsilon [/mm] > x > b.
3)
a) Supremum 7,5, Infimum 0, weder Maximum noch Minimum
b) Maximum und Supremum 1,5, da für n= 1 der zweite Term mit 1 das grösst mögliche mit 1 und für m=1 der erste term das grösst mögliche mit 0,5 erreicht.
Minimum und Infimum ist 0, da beide Terme für unendlich n bzw. m gegen null gehen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
> 1) Es sei A [mm]\subset \IR.[/mm] Beweisen Sie: b ist genau dann das
> Supremum von A, wenn die folgenden beiden Bedingungen
> erfüllt sind:
> a) für alle x [mm]\in[/mm] A gilt x [mm]\le[/mm] b
> ii) zu jeder reelen Zahl [mm]\varepsilon[/mm] > 0 existiert ein x
> [mm]\in[/mm] A mit b - [mm]\varepsilon[/mm] < x [mm]\le[/mm] b.
>
> 2) Formulieren und beweisen Sie ein analoges Kriterium für
> das Infimum von A.
>
> 3) Bestimmen Sie zu den folgenden Teilmengen von [mm]\IR[/mm]
> gegebenenfalls Supremum, Infimum, Maximum und Minimum
> a) A := [mm]\{x \in \IR | 0\le x \le 7,5\}[/mm]
> b) B := [mm]\{2^(-m) +n^(-1) |m,n \in \IN \}[/mm]
> Hier meine Ansätze:
>
> 1) Wie soll ich da vorgehen?
Du musst eure Definition vom Supremum dazuschreiben.
(Denn ich kenne das, was du zeigen sollst, als Def. für Supremum!)
> 2)
> b ist genau dann das Infimum von A, wenn die folgenden
> beiden Bedingungen erfüllt sind:
> a) Für alle x [mm]\in[/mm] A gilt x [mm]\ge[/mm] b
> b) zu jeder reelen Zahl [mm]\varepsilon[/mm] > 0 existiert ein x
> [mm]\in[/mm] A mit b + [mm]\varepsilon[/mm] > x [mm] \red{>} [/mm] b.
Ja, das ist OK. Es muss nur statt dem ROTEN > ein [mm] \ge [/mm] sein.
> 3)
> a) Supremum 7,5, Infimum 0, weder Maximum noch Minimum
Supremum und Infimum OK.
Aber warum sollte diese Menge kein Maximum/Minimum haben? Die Werte 0 und 7.5 sind doch in der Menge drin!
> b) Maximum und Supremum 1,5, da für n= 1 der zweite Term
> mit 1 das grösst mögliche mit 1 und für m=1 der erste
> term das grösst mögliche mit 0,5 erreicht.
> Minimum und Infimum ist 0, da beide Terme für
> unendlich n bzw. m gegen null gehen.
Wir gehen hier von [mm] $\IN [/mm] = [mm] \{1,2,3,...\}$ [/mm] aus.
Dann ist alles, was du geschrieben hast, richtig.
Wenn das eine Übungsaufgabe sein sollte, musst du das evtl. noch etwas ausführlicher (anhand der Def.) beweisen.
Viele Grüße,
Stefan
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Unsere Definition ist diese:
http://s1.directupload.net/images/130414/atwurqgw.png
Und in der Aufgabe sollte x echt kleiner als 7,5 sein. Ändere ich jetzt.
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Hallo,
> Unsere Definition ist diese:
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> http://s1.directupload.net/images/130414/atwurqgw.png
>
> Und in der Aufgabe sollte x echt kleiner als 7,5 sein.
> Ändere ich jetzt.
In diesem Fall hat die entsprechende Menge kein Maximum.
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Wegen der Def. vom Supremum:
Du musst zeigen:
"S ist obere Schranke von A und für alle anderen oberen Schranken S' von A gilt S' [mm] \le [/mm] S." [mm] \gdw [/mm] "S ist obere Schranke von A und [mm] $\forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \exists [/mm] x [mm] \in [/mm] A: [mm] S-\varepsilon \le x\le [/mm] S$.
Du kannst ja mal mit [mm] "$\Rightarrow$" [/mm] anfangen. Dazu könntest du einen Widerspruchsbeweis machen: Angenommen, es gäbe ein [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$, so dass für alle $x [mm] \in [/mm] A$: $S- [mm] \varepsilon \ge [/mm] x$. Was wäre dann?
Zu [mm] "$\Leftarrow$": [/mm] Sei $S'$ eine obere Schranke von A. Angenommen, $S' > S$. Dann gibt es ein [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ mit $S' = S + [mm] \varepsilon$...
[/mm]
Viele Grüße,
Stefan
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> Du kannst ja mal mit "[mm]\Rightarrow[/mm]" anfangen. Dazu könntest
> du einen Widerspruchsbeweis machen: Angenommen, es gäbe
> ein [mm]\varepsilon > 0[/mm], so dass für alle [mm]x \in A[/mm]: [mm]S- \varepsilon \ge x[/mm].
> Was wäre dann?
Würde das dann nicht ein Infimum darstellen?
>
> Zu "[mm]\Leftarrow[/mm]": Sei [mm]S'[/mm] eine obere Schranke von A.
> Angenommen, [mm]S' > S[/mm]. Dann gibt es ein [mm]\varepsilon > 0[/mm] mit [mm]S' = S + \varepsilon[/mm]...
>
Wenn S die oberste Schranke ist, dann dürfte es doch kein S' < S, weil ja S' das grösste ausserhalb der Menge ?
Und das mit epsilon kann man doch für beliebig grössere Zahlen als das Supremum verwenden. Sagen wir, dass das Supremum A ist und D>C>B>A.
Dann trift die Definition mit A-e [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] A doch auch für D C und B. z.B.
B-e [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] B
>
> Viele Grüße,
> Stefan
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> > Du kannst ja mal mit "[mm]\Rightarrow[/mm]" anfangen. Dazu könntest
> > du einen Widerspruchsbeweis machen: Angenommen, es gäbe
> > ein [mm]\varepsilon > 0[/mm], so dass für alle [mm]x \in A[/mm]: [mm]S- \varepsilon \ge x[/mm].
> > Was wäre dann?
> Würde das dann nicht ein Infimum darstellen?
Nein. Das Infimum ist die größte untere Schranke.
Das Supremum $ S' $ ist die kleinste obere Schranke.
Mach dir klar, warum dann für jede andere obere Schranke $ S $ von $ A $ gelten muss, dass $ S' < S $ und eben deshalb kein besonderes $ [mm] S_0 [/mm] $ bwsp existieren kann, dass kleiner ist als $ S' $, also dass $ [mm] S_0 [/mm] < S' $ nicht gelten darf, wenn nach Voraussetzung $ S' $ das Supremum sein soll.
Nun helfen dir die Hinweise von Stefan weiter.
> >
> > Zu "[mm]\Leftarrow[/mm]": Sei [mm]S'[/mm] eine obere Schranke von A.
> > Angenommen, [mm]S' > S[/mm]. Dann gibt es ein [mm]\varepsilon > 0[/mm] mit [mm]S' = S + \varepsilon[/mm]...
>
> >
> Wenn S die oberste Schranke ist, dann dürfte es doch kein
> S' < S, weil ja S' das grösste ausserhalb der Menge ?
Du meinst sicher das kleinste, oder? Siehe Erklärung oben.
>
> Und das mit epsilon kann man doch für beliebig grössere
> Zahlen als das Supremum verwenden. Sagen wir, dass das
> Supremum A ist und D>C>B>A.
>
> Dann trift die Definition mit A-e [mm]\le[/mm] x [mm]\le[/mm] A doch auch
> für D C und B. z.B.
> B-e [mm]\le[/mm] x [mm]\le[/mm] B
Die Definition des Supremums sagt allerdings, dass du zu jedem $ [mm] \varepsilon [/mm] > 0 $ mindestens ein $ x [mm] \in [/mm] A $ findest, so dass $ x > S' - [mm] \varepsilon [/mm] $.
Jetzt klarer?
Viele Grüße
ChopSuey
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