Supremum und Infimum < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimmen Sie Supremum, Infimum und falls vorhanden Maximum sowie Minimum. Beweisen Sie Ihre Ergebnisse.
Sei $M = [mm] \{ a + \frac{1}{a}:~~ a\in [0,5~; 2] \}$. [/mm] |
Ich habe diese Frage auf keiner anderen Seite gestellt.
Hallo zusammen,
es geht um einen kleinen Tipp bezüglich der mathematisch korrekten Art und Weise eines solchen Beweises.
Ich weiß, dass $sup(M) = max(M) = 2,5$ und $inf(M) = min(A) = 2$. Da $(2); (2,5) [mm] \in [/mm] M$.
Aber wie kann ich das jetzt korrekt aufschreiben? Die Begründung für $max(M)$ und $min(M)$ sind einfach, aber wie kann ich beispielsweise beweisen, dass $sup(M)=2,5$? Ich kann ja schlecht sagen, dass für $a = 0,5$ und $a = 2$ folgt, dass $sup(M) = 2,5$, weil es für die Randpunkte meines Intervalls gilt und innherhalb meines Intervalls das $inf(M)$ bzw. $min(M) = 2$ erreicht wird..
Über einen Denkanstoß würde ich mich sehr freuen :)
Kletteraffe
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> Bestimmen Sie Supremum, Infimum und falls vorhanden Maximum
> sowie Minimum. Beweisen Sie Ihre Ergebnisse.
> Sei [mm]M = \{ a + \frac{1}{a}:~~ a\in [0,5~; 2] \}[/mm].
> Ich
> habe diese Frage auf keiner anderen Seite gestellt.
>
> Hallo zusammen,
>
> es geht um einen kleinen Tipp bezüglich der mathematisch
> korrekten Art und Weise eines solchen Beweises.
> Ich weiß, dass [mm]sup(M) = max(M) = 2,5[/mm] und [mm]inf(M) = min(A) = 2[/mm].
> Da [mm](2); (2,5) \in M[/mm].
> Aber wie kann ich das jetzt korrekt
> aufschreiben? Die Begründung für [mm]max(M)[/mm] und [mm]min(M)[/mm] sind
> einfach, aber wie kann ich beispielsweise beweisen, dass
> [mm]sup(M)=2,5[/mm]? Ich kann ja schlecht sagen, dass für [mm]a = 0,5[/mm]
> und [mm]a = 2[/mm] folgt, dass [mm]sup(M) = 2,5[/mm], weil es für die
> Randpunkte meines Intervalls gilt und innherhalb meines
> Intervalls das [mm]inf(M)[/mm] bzw. [mm]min(M) = 2[/mm] erreicht wird..
>
> Über einen Denkanstoß würde ich mich sehr freuen :)
>
> Kletteraffe
Wenn du schon weißt, dass deine Menge ein MAX und MIN hat und du schreibst ja, dass du das einfach beweisen kannst (ist auch einfach, steht hier aber nicht), dann muss dein SUP und dein INF genau dem MAX und MIN entsprechen.
Letztlich ist MAX/MIN ja nur ein Spezialfall von SUP/INF, d.h. hat deine Menge ein MAX, dann hast du automatisch auch die Bedingungen für ein SUP erfüllt (mit der gleichen Zahl).
Oder andersrum: SUP/INF sind Verallgemeinerungen von MAX/MIN für den Fall, dass eine Menge zwar kein MAX/MIN hat, aber trotzdem beschränkt ist.
Gruß
weightgainer
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:14 Mi 20.11.2013 | | Autor: | fred97 |
Ich mach Dir mal die Sache mit dem Max. vor:
Zu zeigen ist also:
(*) a+1/a [mm] \le [/mm] 2,5
für alle a [mm] \in [/mm] [1/2,2].
(*) gilt genau dann, wenn [mm] a^2-2,5a+1 \le [/mm] 0 ist.
Nun betrachte Die Funktion [mm] f(x)=x^2-2,5x+1.
[/mm]
zeige:
1. f hat die Nullstellen [mm] x_1=1/2 [/mm] und [mm] x_2=2.
[/mm]
2. f(x) [mm] \le [/mm] 0 [mm] \gdw [/mm] x [mm] \in [/mm] [1/2,2].
FRED
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Hallo fred,
vielen Dank für deine Antwort, ich habe es glaube ich nun verstanden! :)
Behauptung: $inf(M) = min(M) = 2$
Beweis: [mm] $\frac{a^2 + 1}{a} \geq [/mm] 2 [mm] \Leftrightarrow a^2 [/mm] -2a +1 [mm] \geq [/mm] 0$
Dies kann man nun entweder als Funktion schreiben und zeigen, dass die Nullstelle gleich 1 ist, oder als Binom und ausnutzen, dass es stets größer/gleich 0 ist.
Nochmal vielen Dank :)
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