Supremum und Infinum bestimmen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Zeigen Sie, dass folgenden Teilmengen von [mm] \IR [/mm] nach oben und nach unten beschränkt sind und bestimmen Sie jeweils das Supremum und das Infimum. Geben Sie auch an, ob die Mengen ein größtes oder kleinstes Element enthalten
(i) [mm] \bruch{(-1)^n}{n} [/mm] : [mm] n\in \IN [/mm]
(ii) [mm] \bruch{2-n}{n} [/mm] : [mm] n\in \IN [/mm]
(iii) [mm] \bruch{x}{x+3} [/mm] : x>0 |
Hallo,
Ich hänge schon seit 2 Tagen an dieser Aufgabe, weil ich leider gar keine Idee habe wie ich hier vorgehen soll. Ich weis nicht wie man ein Supremum oder Infimun bestimmt, bzw wie man die obere oder untere Schranken setzt. Kann mir hier jemand einen Denkanstoß geben und erklären wie man die Aufgabe am besten bearbeitet?
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Hallo,
> Zeigen Sie, dass folgenden Teilmengen von [mm]\IR[/mm] nach oben und
> nach unten beschränkt sind und bestimmen Sie jeweils das
> Supremum und das Infimum. Geben Sie auch an, ob die Mengen
> ein größtes oder kleinstes Element enthalten
>
> (i) [mm]\bruch{(-1)^n}{n}[/mm] : [mm]n\in \IN[/mm]
> (ii) [mm]\bruch{2-n}{n}[/mm] : [mm]n\in \IN[/mm]
> (iii) [mm]\bruch{x}{x+3}[/mm] : x>0
> Hallo,
>
> Ich hänge schon seit 2 Tagen an dieser Aufgabe, weil ich
> leider gar keine Idee habe wie ich hier vorgehen soll. Ich
> weis nicht wie man ein Supremum oder Infimun bestimmt, bzw
Das ist sowohl ganz einfach als auch ganz schwierig:
Man rät sie jeweils und zeigt dann das man richtig geraten hat.
Hast du die Folgen schon mal veranschaulicht, sprich aufgezeichnet bzw. plotten lassen? Da könnte einem eine Idee kommen.
> wie man die obere oder untere Schranken setzt. Kann mir
> hier jemand einen Denkanstoß geben und erklären wie man
> die Aufgabe am besten bearbeitet?
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Hallo,
Danke erstmal für den Tipp. Ich habe bei den Teilmengen jetzt mal verschiedene Werte eingesetzt und bei der ersten Teilmenge werden die Werte für große n sehr klein bzw für ungerade n ist es ein negativer kleiner Wert der gegen 0 läuft und für gerade ein positiver kleiner Wert der gegen 0 läuft.
Wäre das Infimum hier dann für n=1 --> -1? eine kleinere Zahl habe ich nicht gefunden. Aber wie würde ich jetzt zeigen, dass das tatsächlich das Infimum ist?
Bei der zweiten nähert sich die Teilmenge ab n=3 der -1 an. Das Supremum wäre dann doch für n=1 -->1 ? Die Funktion nähert sich ja nur der -1 an, sie erreicht sie nicht, wäre hier dann das Infimum Inf(m) = -1? bzw ist diese Menge dann nach unten beschränkt?
und bei der 3.Teilmenge nähert sie sich der 1 an. Auch hier erreicht sie die 1 nicht, darf man troztdem sagen sup(M) = 1 ? und wie zeige ich formal, dass das supremum richtig ist?
Danke schonmal im Vorraus
LG Mariam
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:02 Fr 31.10.2014 | | Autor: | Becky27 |
Du hast doch wahrscheinlich die Definitionen von Supremum und Infimum.
Jetzt musst du zeigen, dass bei deinen geratenen Werten die Eigenschaften von Supremum bzw Infimum erfüllt sind (also die, die in der Definition aufgeführt werden).
Wenn du zB zeigen möchtest, dass eine Menge A [mm] \le [/mm] 1 ist, definierst du ein [mm] x_0, [/mm] für das A > 1 gelten soll und führst das zum Widerspruch.
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Hallo,
Danke für den Tipp, könntest du bei meiner Lösung drüberschauen und mir sagen, ob das so ok wäre? Ich habe das jetzt mal nur für das Supremum der (i) gemacht, Infimum wäre analog, oder?
Ich habe jetzt für (i) A = [mm] \bruch{(-1)^n}{n} [/mm] n [mm] \in \IN [/mm] versucht zu zeigen, dass das Sup(A)= 0 ist.
Ich habe dafür angenommen, dass es eine kleinere Obere Schranke s' gäbe mit s'<s , wobei s=0 (s'<0)
Dann habe ich [mm] \varepsilon [/mm] definiert als [mm] \varepsilon [/mm] : s'+s = s' + 0 = s' > 0
Ich habe dann ein Element [mm] a_{0} [/mm] genommen und gesagt dass
[mm] a_{0} [/mm] : 0 + [mm] \bruch{\varepsilon}{2} [/mm] > 0 + [mm] \bruch{0}{2} [/mm] = --> [mm] a_{0} [/mm] > 0 , also gezeigt dass [mm] a_{0} [/mm] in der Menge liegt, nämlich in [mm] \IN
[/mm]
Dann habe ich gesagt das [mm] a_{0} [/mm] = s + [mm] \bruch{\varepsilon}{2} [/mm] < [mm] s+\varepsilon [/mm] = s+(s'-s) = s'
Da wir jetzt da stehen haben [mm] a_{0} [/mm] < s' ,müsste [mm] a_{0} [/mm] < 0 , was ein Widerspruch zu [mm] a_{0} [/mm] > 0 wäre.
Wäre das so richtig?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:33 So 02.11.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
[mm] a_n= $ \bruch{(-1)^n}{n} [/mm] $ [mm] a_2=1/2>0 [/mm] also ist o nicht [mm] sup(a_n) [/mm] deshalb hab ich den Rest nicht angesehen.
übrigens [mm] a_0 [/mm] existiert nicht. und wenn du was für [mm] a_0 [/mm] gezeigt hättest, warum soll das dann das sup sein?
deine Ausführungen mit dem [mm] a_0 [/mm] verstehe ich überhaupt nicht, sie beziehen sich ja gar nicht auf die spezielle Folge oben.
du hast ein sup=s geraten (hier das falsche) dann musst du zeigen dass alle [mm] a_n\le [/mm] s sind. hier kannst du bei [mm] a_n [/mm] benutzen [mm] |a_n| [/mm] ist monoton fallend für wachsende n, d.h. der erste positive Wert ist das sup. der erste negative Wert das inf. jetzt schreib das formal auf.
Wenn du mit einem Widerspruch arbeiten willst dan beim sup angenommen [mm] a_n>1/2. [/mm] dann gibt es ein gerades n=2k mit [mm] 1(n^{2k}>1/2 [/mm] n>1 daraus folt [mm] n^{2k}>2 [/mm] was für k>1 falsch ist.
entsprechend für inf.
Gruß leduart.
Gruß leduart
Gruß leduart
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:44 Mo 03.11.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
> Danke für den Tipp, könntest du bei meiner Lösung
> drüberschauen und mir sagen, ob das so ok wäre? Ich habe
> das jetzt mal nur für das Supremum der (i) gemacht,
> Infimum wäre analog, oder?
>
> Ich habe jetzt für (i) A = [mm]\bruch{(-1)^n}{n}[/mm] n [mm]\in \IN[/mm]
> versucht zu zeigen, dass das Sup(A)= 0 ist.
>
Dass dies falsch ist, wurde Dir schon gesagt !
> Ich habe dafür angenommen, dass es eine kleinere Obere
> Schranke s' gäbe mit s'<s , wobei s=0 (s'<0)
> Dann habe ich [mm]\varepsilon[/mm] definiert als [mm]\varepsilon[/mm] : s'+s
> = s' + 0 = s' > 0
Huuuii ! Oben ist s'<0 und nun plötzlich ist s'>0 . Magie ?
>
> Ich habe dann ein Element [mm]a_{0}[/mm] genommen und gesagt dass
> [mm]a_{0}[/mm] : 0 + [mm]\bruch{\varepsilon}{2}[/mm] > 0 + [mm]\bruch{0}{2}[/mm] =
> --> [mm]a_{0}[/mm] > 0 , also gezeigt dass [mm]a_{0}[/mm] in der Menge liegt,
> nämlich in [mm]\IN[/mm]
>
> Dann habe ich gesagt das [mm]a_{0}[/mm] = s + [mm]\bruch{\varepsilon}{2}[/mm]
> < [mm]s+\varepsilon[/mm] = s+(s'-s) = s'
>
> Da wir jetzt da stehen haben [mm]a_{0}[/mm] < s' ,müsste [mm]a_{0}[/mm] < 0
> , was ein Widerspruch zu [mm]a_{0}[/mm] > 0 wäre.
>
> Wäre das so richtig?
Nein.
Berechne konkret [mm] a_1,a_2,a_3, a_4 [/mm] .
Dann kommst Du auf die Vermutung:
-1=infA=minA und 1/2=supA=maxA.
FRED
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