matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenTopologie und GeometrieSurjektion in proj Raum
Foren für weitere Studienfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Astronomie • Medizin • Elektrotechnik • Maschinenbau • Bauingenieurwesen • Jura • Psychologie • Geowissenschaften
Forum "Topologie und Geometrie" - Surjektion in proj Raum
Surjektion in proj Raum < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Topologie und Geometrie"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Surjektion in proj Raum: Verständnisproblem
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:58 Fr 30.12.2016
Autor: DerPanda

Hallo Folks,
ich habe ein Verständnisproblem beim folgenden Beispiel aus dem Buch "Grundkurs Topologie" von Szymik und Laures.
Betrachte Surjektion von der Sphäre in den projektiven Raum

[mm] p:S^n \to \IR P^n [/mm]

welche einem Vektor der Länge 1 die erzeugte Gerade zuordnet. Die Abb ist offen, denn ist U eine offene Teilmenge des [mm] \IR^{n+1} \backslash [/mm] {0}, die keine gegenüberliegende Punktepaare {x, -x} enthält, so ist p(U [mm] \cap S^n) [/mm] offen, weil das Urbild dieser Menge im Raum  [mm] \IR^{n+1} \backslash [/mm] {0} offen ist.
Es ergeben sich für mich zwei Fragen:
Wieso darf die gewählte offene Menge U NICHT ein Punktepaar {x, -x} enthalten und zweitens: wieso ist dann das Urbild von p(U [mm] \cap S^n) [/mm] offen in  [mm] \IR^{n+1} \backslash [/mm] {0}? Da [mm] \IR^{n+1} \backslash [/mm] {0} ausgestattet ist mit von [mm] \IR^{n+1} [/mm] induzierten UR-Topologie, kann doch dort eine Teilmenge von [mm] S^n [/mm] niemals offen sein, oder ist hier mit dem "Urbild" von p(U [mm] \cap S^n) [/mm]  das Urbild unter kan. Quotientenabb. k: [mm] \IR^{n+1} \backslash [/mm] {0} [mm] \to \IR P^n [/mm] gemeint? Wenn ja, wieso ist das dann offen (hängt vermutl. irgendwie mit der Forderung (siehe erste Frage) an U. Aber wie?
Ich orientiere mich bei allen vorkommenden Definitionen an der angegebenen Literaturquelle (Zum Reinlesen: 2.4 Universelle Konstruktionen, S. 33).

Gruß
Panda



Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Surjektion in proj Raum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:07 So 01.01.2017
Autor: hippias


> Hallo Folks,
>  ich habe ein Verständnisproblem beim folgenden Beispiel
> aus dem Buch "Grundkurs Topologie" von Szymik und Laures.
>  Betrachte Surjektion von der Sphäre in den projektiven
> Raum
>  
> [mm]p:S^n \to \IR P^n[/mm]
>  
> welche einem Vektor der Länge 1 die erzeugte Gerade
> zuordnet. Die Abb ist offen, denn ist U eine offene
> Teilmenge des [mm]\IR^{n+1} \backslash[/mm] {0}, die keine
> gegenüberliegende Punktepaare {x, -x} enthält, so ist p(U
> [mm]\cap S^n)[/mm] offen, weil das Urbild dieser Menge im Raum  
> [mm]\IR^{n+1} \backslash[/mm] {0} offen ist.
> Es ergeben sich für mich zwei Fragen:
>  Wieso darf die gewählte offene Menge U NICHT ein
> Punktepaar {x, -x} enthalten und zweitens: wieso ist dann
> das Urbild von p(U [mm]\cap S^n)[/mm] offen in  [mm]\IR^{n+1} \backslash[/mm]
> {0}? Da [mm]\IR^{n+1} \backslash[/mm] {0} ausgestattet ist mit von
> [mm]\IR^{n+1}[/mm] induzierten UR-Topologie, kann doch dort eine
> Teilmenge von [mm]S^n[/mm] niemals offen sein, oder ist hier mit dem
> "Urbild" von p(U [mm]\cap S^n)[/mm]  das Urbild unter kan.
> Quotientenabb. k: [mm]\IR^{n+1} \backslash[/mm] {0} [mm]\to \IR P^n[/mm]
> gemeint?

Ja, so dürfte es gemeint sein.

> Wenn ja, wieso ist das dann offen (hängt vermutl.
> irgendwie mit der Forderung (siehe erste Frage) an U. Aber
> wie?

Es hängt an der Definition der Topologie auf [mm] $P\IR^{n}$. [/mm] Teile sie einfach hier mit.

Einen Grund, weshalb [mm] $\{x,-x\}\subseteq [/mm] U$ nicht zulässig sein sollte, kann ich mit den gegebenen Informationen nicht nennen. Vielleicht geht es dabei noch um etwas anderes als die Stetigkeit von $p$.


>  Ich orientiere mich bei allen vorkommenden Definitionen an
> der angegebenen Literaturquelle (Zum Reinlesen: 2.4
> Universelle Konstruktionen, S. 33).
>  
> Gruß
>  Panda
>  
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.


Bezug
                
Bezug
Surjektion in proj Raum: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:58 So 01.01.2017
Autor: DerPanda

Hi,
Frohes neues Jahr und danke für die Rückmeldung.

> > Wenn ja, wieso ist das dann offen (hängt vermutl.
> > irgendwie mit der Forderung (siehe erste Frage) an U. Aber
> > wie?
>  Es hängt an der Definition der Topologie auf [mm]P\IR^{n}[/mm].
> Teile sie einfach hier mit.

Bei der Topologie auf [mm]P\IR^{n}[/mm] handelt es sich um von p:  [mm] IR^{n}/{0} \to P\IR^{n} [/mm] coinduzierte Topologie, d. h. [mm] \cap [/mm] {U [mm] \subseteq P\IR^{n} [/mm]  | [mm] p^{-1}(U) [/mm] offen in [mm] IR^{n}/{0} [/mm] }

>  
> Einen Grund, weshalb [mm]\{x,-x\}\subseteq U[/mm] nicht zulässig
> sein sollte, kann ich mit den gegebenen Informationen nicht
> nennen. Vielleicht geht es dabei noch um etwas anderes als
> die Stetigkeit von [mm]p[/mm].

Hier ist der Link zum beschriebenen Textabschnitt:

[]  Grundkurs Topologie

Vielleicht habe ich dort ggf. ein Detail übersehen.

Gruß
Panda




Bezug
                        
Bezug
Surjektion in proj Raum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:20 So 01.01.2017
Autor: donquijote


> Hi,
> Frohes neues Jahr und danke für die Rückmeldung.
>
> > > Wenn ja, wieso ist das dann offen (hängt vermutl.
> > > irgendwie mit der Forderung (siehe erste Frage) an U. Aber
> > > wie?
>  >  Es hängt an der Definition der Topologie auf [mm]P\IR^{n}[/mm].
> > Teile sie einfach hier mit.
>  
> Bei der Topologie auf [mm]P\IR^{n}[/mm] handelt es sich um von p:  
> [mm]IR^{n}/{0} \to P\IR^{n}[/mm] coinduzierte Topologie, d. h. [mm]\cap[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)


> {U [mm]\subseteq P\IR^{n}[/mm]  | [mm]p^{-1}(U)[/mm] offen in [mm]IR^{n}/{0}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

}

>  
> >  

> > Einen Grund, weshalb [mm]\{x,-x\}\subseteq U[/mm] nicht zulässig
> > sein sollte, kann ich mit den gegebenen Informationen nicht
> > nennen. Vielleicht geht es dabei noch um etwas anderes als
> > die Stetigkeit von [mm]p[/mm].
>  
> Hier ist der Link zum beschriebenen Textabschnitt:
>  
> []  Grundkurs Topologie
>  
> Vielleicht habe ich dort ggf. ein Detail übersehen.

Hallo,
die Formulierung im Buch erscheint mit nicht ganz schlüssig, irgendwie habe ich den Eindruck, dass der Autor da nicht so richtig nachgedacht hat. Gemeint ist womöglich der folgende Gedankengang:
Man betrachtet eine offene Teilmenge [mm]V\subset S^n[/mm] und möchte zeigen, dass p(V) in [mm] P\IR^{n}[/mm] offen ist. Dazu schreibt man [mm]V=U\cap S^n[/mm] mit [mm]U\subset IR^{n+1}[/mm], wobei U als das Urbild von V unter der kanonischen Projektion [mm]IR^{n+1}\setminus\{0\}\to S^n[/mm] gewählt wird. Enthält V und damit U keine gegenüberliegenden Punkte (die Voraussetzung ist nicht wirklich nötig, macht es aber einfacher, da "Überschneidungen" beim Urbild vermieden werden), so besteht [mm]k^{-1}(p(V))[/mm] aus zwei "Kopien" von U und ist damit offen in [mm]IR^{n+1}\setminus\{0\}[/mm], woraus die Offenheit von p(V) nach Definition der coinduzierte Topologie folgt.

>  
> Gruß
>  Panda
>  
>
>  


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Topologie und Geometrie"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]