Surjektiv < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:59 So 02.12.2007 | | Autor: | Mathmark |
Hallo Zusammen !!!
Sei [mm] $N:\IN_0\times\IN\to\IN$ [/mm] mit [mm] $(m,n)\mapsto 2^m(2n-1)$ [/mm] eine Abbildung.
Sei mit $G$ die Menge der geraden und mit $U$ die Menge der ungeraden natürlichen Zahlen definiert.
Zu zeigen: $N$ ist bijektiv.
Den Beweis, dass $N$ injektiv ist, habe ich schon erledigt.
Für den Beweis der Surjektivität benötige ich jedoch ein wenig Hilfe.
Wähle dazu [mm] $k\in\IN$ [/mm] beliebig. Dann ist entweder [mm] $k\in [/mm] G$ oder [mm] $k\in [/mm] U$.
Falls [mm] $k\in [/mm] U$, existiert somit ein [mm] $n\in\IN$ [/mm] mit $k=2n-1$. Setze dann $k=N(0,n)$ und man ist fertig.
Sei also [mm] $k\in [/mm] G$. Dann gibt es ein [mm] $n\in\IN$ [/mm] mit $k=2n$.
An dieser Stelle tritt nun das Problem auf: Ist dieses [mm] $n\in\IN$ [/mm] gerade oder ungerade ?
Korollar:
Jede natürliche Zahl [mm] $a\not= [/mm] 0$ besitzt genau eine Primzerlegung
[mm] $a=p_1^{m_1}p_2^{m_2}.....p_r^{m_r}$ [/mm]
mit Primzahlen [mm] $p_1
(Beweis siehe Reinhold Remmert,Peter Ullrich, Elementare Zahlentheorie, 1987,S.31)
Mit diesem Korollar folgt, dass es auch zu unserem [mm] $k\in [/mm] G$ eine solche Primzerlegung (oder Primfaktorzerlegung) gibt.
D.h. [mm] $k=p_1^{m_1}p_2^{m_2}.....p_r^{m_r}$ [/mm] mit geeigneten [mm] $p_i\in\IP$ [/mm] und [mm] $m_i\in\IN, m_i\ge [/mm] 1$.
Da $k$ gerade ist, muss also [mm] $p_1=2$ [/mm] gelten. Folglich existiert eine Darstellung [mm] $k=2^{m_1}p_2^{m_2}.....p_r^{m_r}$.
[/mm]
Nun ist das Produkt von zwei ungeraden Zahlen wieder eine ungerade Zahl (wie sich leicht beweisen lässt), woraus folgt, da ja alle Primzahlen >2 ungerade sind, dass das Produkt [mm] $p_2^{m_1}p_3^{m_2}.....p_r^{m_r}$ [/mm] wieder eine ungerade Zahl ist. Also existiert ein [mm] $p\in\IN$ [/mm] mit [mm] $2p-1=p_2^{m_1}p_3^{m_2}.....p_r^{m_r}$.
[/mm]
Damit erhalten wir dann die Darstellung für beliebiges [mm] $k\in [/mm] G$:
[mm] $k=N(m_1,p)$.
[/mm]
Da ja [mm] $k\in [/mm] G$ beliebig war, folgt dann doch die Surjektivität.
Könnte man das so stehen lassen ?
Grüße Mathmark
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:17 Mo 03.12.2007 | | Autor: | Mathmark |
Hallo Zusammen !!!
Mag mir keiner antworten ?
Bin mir mit meiner Aussage nicht ganz sicher...............wäre für einen Kommentar dankbar !!!
Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:29 Mo 03.12.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo
Hast du wirklich ein Diplom in Mathematik? Oder hast du das einfach so ``aus Spass'' beim math. Background angegeben?
> Sei [mm]N:\IN_0\times\IN\to\IN[/mm] mit [mm](m,n)\mapsto 2^m(2n-1)[/mm] eine
> Abbildung.
> Sei mit [mm]G[/mm] die Menge der geraden und mit [mm]U[/mm] die Menge der
> ungeraden natürlichen Zahlen definiert.
>
> Zu zeigen: [mm]N[/mm] ist bijektiv.
>
> Den Beweis, dass [mm]N[/mm] injektiv ist, habe ich schon erledigt.
> Für den Beweis der Surjektivität benötige ich jedoch ein
> wenig Hilfe.
Ok.
> Wähle dazu [mm]k\in\IN[/mm] beliebig. Dann ist entweder [mm]k\in G[/mm] oder
> [mm]k\in U[/mm].
> Falls [mm]k\in U[/mm], existiert somit ein [mm]n\in\IN[/mm] mit
> [mm]k=2n-1[/mm]. Setze dann [mm]k=N(0,n)[/mm] und man ist fertig.
>
> Sei also [mm]k\in G[/mm]. Dann gibt es ein [mm]n\in\IN[/mm] mit [mm]k=2n[/mm].
> An dieser Stelle tritt nun das Problem auf: Ist dieses
> [mm]n\in\IN[/mm] gerade oder ungerade ?
>
> Korollar:
> Jede natürliche Zahl [mm]a\not= 0[/mm] besitzt genau eine
> Primzerlegung
> [mm]a=p_1^{m_1}p_2^{m_2}.....p_r^{m_r}[/mm]
> mit Primzahlen [mm]p_1
>
> (Beweis siehe Reinhold Remmert,Peter Ullrich, Elementare
> Zahlentheorie, 1987,S.31)
>
> Mit diesem Korollar folgt, dass es auch zu unserem [mm]k\in G[/mm]
> eine solche Primzerlegung (oder Primfaktorzerlegung) gibt.
> D.h. [mm]k=p_1^{m_1}p_2^{m_2}.....p_r^{m_r}[/mm] mit geeigneten
> [mm]p_i\in\IP[/mm] und [mm]m_i\in\IN, m_i\ge 1[/mm].
>
> Da [mm]k[/mm] gerade ist, muss
> also [mm]p_1=2[/mm] gelten. Folglich existiert eine Darstellung
> [mm]k=2^{m_1}p_2^{m_2}.....p_r^{m_r}[/mm].
> Nun ist das Produkt von zwei ungeraden Zahlen wieder eine
> ungerade Zahl (wie sich leicht beweisen lässt), woraus
> folgt, da ja alle Primzahlen >2 ungerade sind, dass das
> Produkt [mm]p_2^{m_1}p_3^{m_2}.....p_r^{m_r}[/mm] wieder eine
> ungerade Zahl ist. Also existiert ein [mm]p\in\IN[/mm] mit
> [mm]2p-1=p_2^{m_1}p_3^{m_2}.....p_r^{m_r}[/mm].
> Damit erhalten wir dann die Darstellung für beliebiges
> [mm]k\in G[/mm]:
> [mm]k=N(m_1,p)[/mm].
> Da ja [mm]k\in G[/mm] beliebig war, folgt dann doch die
> Surjektivität.
>
> Könnte man das so stehen lassen ?
Ja.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:43 Fr 07.12.2007 | | Autor: | Mathmark |
Hab das mit dem Dipl.Math falsch verstanden.
Werde mein Studium (hoffentlich) als Dipl.Math beenden.
Bin noch im Grundstudium.Habs geändert !
Sorry nochmal !!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:42 Fr 07.12.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Hab das mit dem Dipl.Math falsch verstanden.
> Werde mein Studium (hoffentlich) als Dipl.Math beenden.
> Bin noch im Grundstudium.Habs geändert !
Okey :) Ist kein Problem, ich glaub es geht einigen so... Wollt nur mal nachfragen ;)
LG Felix
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