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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:41 Di 12.04.2011 | | Autor: | Loriot95 |
| Aufgabe | Seien X [mm] \not= \emptyset [/mm] und Y Mengen und f: X -> Y eine Abbildung. Beweisen Sie: f ist genau dann surjektiv, wenn [mm] f^{-1}(B) \not= \emptyset [/mm] für alle nicht-leeren Teilmengen
[mm] B\subseteq [/mm] Y. |
Guten Morgen,
habe die Aufgabe gelöst und würde mich freuen, wenn jemand drüber schauen könnte. Also:
[mm] "\Rightarrow": [/mm] Sei f surjektiv. Betrachte [mm] B_{0} \subseteq [/mm] Y.Da f surjektiv, gilt: [mm] \forall y_{0} \in B_{0} \exists x_{0} \in [/mm] X: [mm] f(x_{0}) [/mm] = [mm] y_{0} \Rightarrow f^{-1}(B) \not= \emptyset
[/mm]
[mm] "\Leftarrow": [/mm] Es gelte [mm] f^{-1}(B) \not= \emptyset. [/mm] Angenommen f wäre nicht surjektiv. Dann gilt:
[mm] \exists y_{0} \in [/mm] B [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] X: f(x) [mm] \not= y_{0}. [/mm] Sei [mm] B_{0}:= \{y_{0}\} \Rightarrow f^{-1}(B_{0}) [/mm] = [mm] \emptyset [/mm] . Dies ist ein Widerspruch zur Vorraussetzung.
Stimmt das so? Was ist falsch? Was lässt sich verbessern? Freue mich über jede Hilfe
LG Loriot95
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:06 Di 12.04.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Seien X [mm]\not= \emptyset[/mm] und Y Mengen und f: X -> Y eine
> Abbildung. Beweisen Sie: f ist genau dann surjektiv, wenn
> [mm]f^{-1}(B) \not= \emptyset[/mm] für alle nicht-leeren Teilmengen
> [mm]B\subseteq[/mm] Y.
> Guten Morgen,
>
> habe die Aufgabe gelöst und würde mich freuen, wenn
> jemand drüber schauen könnte. Also:
> [mm]"\Rightarrow":[/mm] Sei f surjektiv. Betrachte [mm]B_{0} \subseteq[/mm] Y.
besser: Du solltest auch [mm] $B_0 \not= \emptyset$ [/mm] fordern - Du willst ja gerade zeigen: Ist $B [mm] \subseteq [/mm] Y$ irgendeine NICHTLEERE Teilmenge, dann...
> Da f surjektiv, gilt: [mm]\forall y_{0} \in B_{0} \exists x_{0} \in[/mm]
> X: [mm]f(x_{0})[/mm] = [mm]y_{0} \Rightarrow f^{-1}(B_{\red{0}}) \not= \emptyset[/mm]
Das ist soweit eigentlich alles in Ordnung (wobei ich die rote Null beim letzten [mm] $B\,$ [/mm] ergänzt habe). Der Aufgabenstellung zufolge würde ich es aber so schreiben:
Sei [mm] $\emptyset \not=B \subseteq [/mm] Y$ (oder meinetwegen auch [mm] $B_0$ [/mm] anstelle von [mm] $B\,$, [/mm] dann aber auch im Folgenden!). Wegen $B [mm] \not= \emptyset$ [/mm] existiert ein [mm] $y_0 \in B\,,$ [/mm] wobei wegen $B [mm] \subseteq [/mm] Y$ dann auch [mm] $y_0 \in [/mm] Y$ gilt. Wegen der Surjektivität von [mm] $f\,$ [/mm] existiert dann aber auch (mindestens) ein [mm] $x_0 \in [/mm] X$ mit [mm] $f(x_0)=y_0\,.$ [/mm] Somit gilt
[mm] $$\{x_0\} \subseteq f^{-1}(B)\;\;\;(\text{alternativ bzw. in äquivalenter Form kannst Du auch schreiben: } x_0 \in f^{-1}(B))$$
[/mm]
und daher auch [mm] $f^{-1}(B) \not=\emptyset\,.$
[/mm]
> [mm]"\Leftarrow":[/mm] Es gelte [mm]f^{-1}(B) \not= \emptyset.[/mm]
Wichtig und zu ergänzen: für alle nichtleeren Teilmengen [mm] $\red{B \subseteq Y\,\,!!!}$ [/mm]
(Denn beachte dabei bitte, dass [mm] $f^{-1}(\emptyset)=\emptyset$ [/mm] und auch [mm] $\emptyset \subseteq [/mm] Y$ gilt!)
> Angenommen f wäre nicht surjektiv. Dann gilt:
> [mm]\exists y_{0} \in[/mm] B [mm]\forall[/mm] x [mm]\in[/mm] X: f(x) [mm]\not= y_{0}.[/mm]
Kleiner Fehler: Wenn [mm] $f\,$ [/mm] nicht surjektiv ist, dann gibt es ein [mm] $y_0 \in \blue{Y}\,,$ [/mm] so dass ... (bei Dir steht oben "$y [mm] \in [/mm] B$"; was soll da [mm] $B\¸,$ [/mm] sein?)
> Sei
> [mm]B_{0}:= \{y_{0}\} \Rightarrow f^{-1}(B_{0})[/mm] = [mm]\emptyset[/mm] .
> Dies ist ein Widerspruch zur Vorraussetzung.
Ja: Aber auch hier ergänze: Ist nun [mm] $B_0:=\{y_0\}\,,$ [/mm] so ist wegen [mm] $y_0 \in [/mm] Y$ sicherlich [mm] $B_0 \subseteq [/mm] Y$ UND [mm] $\red{B_0 \not= \emptyset}$
[/mm]
> Stimmt das so? Was ist falsch? Was lässt sich verbessern?
> Freue mich über jede Hilfe
Ansonsten ist das, soweit ich das sehe, alles in Ordnung.
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:37 Di 12.04.2011 | | Autor: | Loriot95 |
Alles klar. Dann bedanke ich mich. :)
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