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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:10 Fr 10.02.2012 | | Autor: | quasimo |
| Aufgabe | Beweise:
[mm] \phi:V->W [/mm] surjektiv, linear. Dass existiert lineares [mm] \psi:W->V [/mm] so dass [mm] \phi \circ \psi [/mm] = [mm] id_w (\psi [/mm] ist rechtsinvers zu [mm] \phi) [/mm] |
Ich komme da nicht wirklich voran. Ich hab auch nicht wirklich einen Plan.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:39 Sa 11.02.2012 | | Autor: | Berieux |
Hi!
> Beweise:
> [mm]\phi:V->W[/mm] surjektiv, linear. Dass existiert lineares
> [mm]\psi:W->V[/mm] so dass [mm]\phi \circ \psi[/mm] = [mm]id_w (\psi[/mm] ist
> rechtsinvers zu [mm]\phi)[/mm]
[mm]ker(\phi)[/mm] ist ein Untervektorraum von [mm]V[/mm] mit einer Basis [mm]C[/mm]. Erweitere nun C zu einer Basis B von V. Mach dir klar, dass [mm]\phi|_{span(B\backslash C)}[/mm] ein Isomorphismus von [mm]span(B\backslash C)[/mm] nach W ist.
Viele Grüße,
Berieux
> Ich komme da nicht wirklich voran. Ich hab auch nicht
> wirklich einen Plan.
>
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:14 Sa 11.02.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Beweise:
> [mm]\phi:V->W[/mm] surjektiv, linear. Dass existiert lineares
> [mm]\psi:W->V[/mm] so dass [mm]\phi \circ \psi[/mm] = [mm]id_w (\psi[/mm] ist
> rechtsinvers zu [mm]\phi)[/mm]
> Ich komme da nicht wirklich voran. Ich hab auch nicht
> wirklich einen Plan.
sei [mm] $\mathbb{B}_W=\{w_i: i \in I\}$ [/mm] eine Basis von [mm] $W\,.$ [/mm] Dann ist [mm] $\phi^{-1}(\{w_i\}) \not=\emptyset$ [/mm] für jeden Basisvektor [mm] $w_i$ [/mm] aus [mm] $\mathbb{B}_W \subseteq W\,.$ [/mm] Für jeden Basisvektor [mm] $w_i$ [/mm] kannst Du also mindestens ein [mm] $v_i \in [/mm] V$ finden mit [mm] $\phi(v_i)=w_i\,.$ [/mm] (Das folgt wegen der Surjektivität.)
Wähle nun für jedes [mm] $w_i$ [/mm] genau ein solches [mm] $v_i\,,$ [/mm] und definiere [mm] $\psi: [/mm] W [mm] \to [/mm] V$ erstmal durch [mm] $\psi(w_i):=v_i$ [/mm] für alle $i [mm] \in I\,,$ [/mm] und fordere: [mm] $\psi$ [/mm] sei linear.
Weil eine lineare Abbildung durch Angabe der Bilder bzgl. einer Basis eindeutig bestimmt ist, ist dann [mm] $\psi: [/mm] W [mm] \to [/mm] V$ eine (eindeutig bestimmte, wohldefinierte) lineare Abbildung.
Sei nun $w [mm] \in W\,.$ [/mm] Dann kann [mm] $w=\sum_{n=1}^{N_w} \alpha_{{f_w(n)}} w_{f_w(n)}$ [/mm] geschrieben werden (endliche Linearkombination von Basisvektoren von [mm] $W\,$ [/mm] - beachte, dass sowohl die Anzahl [mm] $N_w$ [/mm] von [mm] $w\,$ [/mm] abhängt, als auch, welche Basisvektoren bzgl. [mm] $w\,$ [/mm] gebraucht werden - daher steht im unteren Index [mm] $f_w(n)\,$ [/mm] und nicht nur $n$).
(Alternativ:
Es gibt eine endliche Teilmenge [mm] $J=J_w \subseteq [/mm] I$ mit [mm] $w=\sum_{j \in J} \alpha_j w_j\,.$ [/mm] So kannst Du das meinetwegen auch schreiben und benutzen - im Endeffekt habe ich oben genau das/sowas hingeschrieben, nur formal ein wenig anders verpackt - oben wäre etwa [mm] $|J|=|J_w|=N_w$!)
[/mm]
Bedenke nun, dass [mm] $(\phi \circ \psi)(w_i)=w_i$ [/mm] für jedes [mm] $w_i \in \mathbb{B}_W$ [/mm] gilt - und benutze auch die Linearität von [mm] $\phi \circ \psi$ [/mm] (warum ist die gegeben?), um [mm] $(\phi \circ \psi)(w)=w$ [/mm] einzusehen!
Gruß,
Marcel
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