Surjektiv, injektiv < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:15 Do 08.11.2012 | | Autor: | Melisa |
| Aufgabe 1 | [mm] \fedon\mixonHallo [/mm] Leute,
vieleicht koennt ihr mir helfen :)
Habe folgenden Aufgaben und hab ich keine Ahnung wie man die loest
1.Aufgabe:
Sei s [mm] :\IN->P(\IN) [/mm] . Wobei [mm] P(\IN) [/mm] die Potenzmenge von [mm] \IN [/mm] ist. Zeigen Sie, dass eine solche
Abbildung unmöglich surjektiv sein kann. Betrachten Sie für den Beweis die Menge
M = {n [mm] \in \IN [/mm] : n [mm] \not\in [/mm] s(n)}. Schlussfolgern Sie, dass es keine bijektiven Abbildungen
zwichen höchsten abzählbar endlichen Mengen und ihren Potzenmengen geben kann. |
| Aufgabe 2 | 2.Aufgabe:
Gegeben seien die folgenden Abbildungen für die Mengen A, B, C und D:
fs:A->B,
g: B->C
h: B->C
fi:C->D
Zeigen oder widerlegen Sie:
1. Falls fs surjektiv ist, gilt die Implikation [mm] (g\circ\ [/mm] fs = [mm] h\circ\fs)=>g [/mm] = h.
2. Falls fi injektiv ist, gilt die Implikation [mm] (fi\circ\ g=fi\circ\ [/mm] h)=>g=h
[mm] \fedoff [/mm] |
Es waere sehr nett wenn mir jemand detalliert erklaert. Danke im Voraus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:04 Do 08.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> [mm]\fedon\mixonHallo[/mm] Leute,
> vieleicht koennt ihr mir helfen :)
> Habe folgenden Aufgaben und hab ich keine Ahnung wie man
> die loest
> 1.Aufgabe:
> Sei s [mm]:\IN->P(\IN)[/mm] . Wobei [mm]P(\IN)[/mm] die Potenzmenge von [mm]\IN[/mm]
> ist. Zeigen Sie, dass eine solche
> Abbildung unmöglich surjektiv sein kann. Betrachten Sie
> für den Beweis die Menge
> M = [mm] \{n \in \IN : n \not\in s(n)\}. [/mm] Schlussfolgern Sie, dass
> es keine bijektiven Abbildungen
> zwichen höchsten abzählbar endlichen Mengen und ihren
> Potzenmengen geben kann.
> [mm]\fedoff[/mm]
> Es waere sehr nett wenn mir jemand detalliert erklaert.
nein, es ist besser, wenn Du selbst über die Aufgabe nachdenkst. Ich gebe
Dir aber einen Anfang:
Angenommen, $s: [mm] \IN \to 2^{\IN}$ [/mm] (rechterhand steht nur eine andere
Notation für die Potenzmenge von [mm] $\IN$) [/mm] wäre doch surjektiv. Dann muss
es - nach Annahme - für jede Menge $X [mm] \in 2^{\IN}$ ($\gdw [/mm] X [mm] \subseteq \IN$)
[/mm]
also eine Zahl $x [mm] \in \IN$ [/mm] so geben, dass [mm] $s(x)=X\,.$
[/mm]
Betrachte nun speziell die angegebene Menge [mm] $M\,:$
[/mm]
Da steht ja [mm] $M=\{n \in \IN:\ldots\}\,,$ [/mm] also ist schonmal klar, dass
$M [mm] \subseteq \IN$ [/mm] gilt - anders gesagt: Es ist dann offensichtlich $M [mm] \in 2^{\IN}\,.$
[/mm]
Wegen der vorausgesetzten Surjektivität von [mm] $s\,$ [/mm] gibt es also ein
$m [mm] \in \IN$ [/mm] derart, dass [mm] $s(m)=M\,$ [/mm] gilt.
Nun kann man man aber folgende Frage stellen: Wenn $m [mm] \in \IN$ [/mm] ist
und zudem $M [mm] \subseteq \IN$ [/mm] gilt, dann gibt es doch nur zwei
Möglichkeiten:
Entweder gilt
1.) $m [mm] \in [/mm] M$
oder es gilt eben
2.) $m [mm] \notin M\,.$
[/mm]
Beachtet man nun aber, dass [mm] $M=s(m)\,$ [/mm] gilt, so kann man in jedem der
beiden Fälle einen Widerspruch erzeugen - und das machst Du nun bitte,
bzw., Du versuchst es wenigstens.
Fange mit 1.) an, und frage DANN nach, wenn Du dort nicht weiterkommst.
Solange Du 1.) nicht verstanden hast, brauchst Du 2.) gar nicht
anzugehen, denn das ist eine reine Analogie. Daher: Zeige erstmal, dass
nicht $m [mm] \in [/mm] M=s(m)$ gelten kann!
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:59 Do 08.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Melisa,
dir scheint völlig die Idee zu fehlen, wie du anfangen sollst. Eine gute Idee ist immer, zunächst die Bedeutungen aller Voraussetzungen und Behauptungen zu notieren und hier mit der Frage zu posten. Zum Einen verhinderst du so, gegen die Forenregeln zu verstoßen und erhöhst deine Chancen auf Antworten. Zum Anderen hast du ohne diese Vorüberlegungen keine Chance, die Aufgaben zu lösen.
Falls du etwas Zeit hast: Ich habe hier (klick) unter dem Namen "Wie führe ich einen Beweis?" eine Art "Anleitung" geschrieben, wie man an Beweisaufgaben besonders in der linearen Algebra herangehen kann. Vielleicht hilft dir das ja weiter. Die dort vorgestellten Methoden sind hier für deine 2. Aufgabe geeignet.
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:40 Sa 10.11.2012 | | Autor: | Melisa |
[mm] \fedon\mixon [/mm] Hallo Tobias,
meine Ueberlegung ist folgende:
fs ist surjektiv
=> [mm] \forall\ [/mm] x [mm] \el\ [/mm] B: [mm] \exists\ x\el\ [/mm] A: fs(x) = y;
Zz: [mm] (g\circ\ [/mm] fs = [mm] h\circ\ [/mm] fs) => g = h;
[mm] g\circ\ [/mm] fs:A->C, x->g(fs(x))
[mm] (g\circ\ [/mm] fs)x = g(fs(x)) = g(y)
[mm] (h\circ\ [/mm] fs)=A->C, x->h(fs(x))
(h [mm] \circ\ [/mm] fs)(x) = h(fs(x))=h(y)
Und dann wiess ich net was ich machen soll, kannst du mir einen Tipp geben?
[mm] \fedoff
[/mm]
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Hallo,
das ist Dir doch schon ganz gut gelungen.
Nun mußt Du nur noch merken, daß Du fast fertig bist.
> meine Ueberlegung ist folgende:
Vorausgesetzt ist:
> fs ist surjektiv
> => [mm]\forall\[/mm] x y [mm]\el\[/mm] B: [mm]\exists\ x\el\[/mm] A: fs(x) = y;
> Zz: [mm](g\circ\[/mm] fs = [mm]h\circ\[/mm] fs) => g = h;
Genau:
vorausgesetzt ist die Surjektivität von [mm] f_s [/mm] und daß [mm] $g\circ\$ [/mm] fs = [mm] $h\circ\$ [/mm] fs gilt.
Hieraus ist zu folgern, daß g=h.
Was bedeutet g=h ?
Es bedeutet, daß für alle Elemente [mm] y\in [/mm] B gilt: g(y)=h(y).
Nun geht's los:
Sei [mm] y\in [/mm] B.
Weil [mm] f_s [/mm] surjektiv ist, gibt es, wie Du oben schriebst, ein dazu passendes [mm] x\in [/mm] A mit [mm] f_s(x)=y.
[/mm]
Es ist
> [mm](g\circ\[/mm] [mm] f_s)\red{(}x\red{)} [/mm] = [mm] g(f_s(x)) [/mm] = g(y),
und es ist
> (h [mm]\circ\[/mm] [mm] f_s)(x) [/mm] = [mm] h(f_s(x))=h(y).
[/mm]
Nach Voraussetzung sind [mm] $g\circ\$ f_s [/mm] und [mm] $h\circ\$ f_s [/mm] gleich...
Also?
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:57 Sa 10.11.2012 | | Autor: | Melisa |
Danke Angela,
h.h.: g(y) = h(y)=> g=y
ja oder nein?? :)
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> Danke Angela,
> h.h.: g(y) = h(y)=> g=y
> ja oder nein?? :)
Hallo,
ja.
Du hattest ja [mm] y\in [/mm] B beliebig.
Somit ist gezeigt, daß g(y)=h(y) für alle [mm] y\in [/mm] B,
also sind die Funktionen gleich.
LG Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:18 Sa 10.11.2012 | | Autor: | Diophant |
Hallo Melisa,
bitte gib grundsätzlich an, wenn du hier eine Frage stellst, die du schon ![[]](/images/popup.gif) woanders gestellt hast.
Siehe dazu auch Punkt 4 unserer Forenregeln.
Gruß, Diophant
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