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Surjektivität: Weihnachtsaufgabe
Status: (Übungsaufgabe) Übungsaufgabe Status 
Datum: 14:08 Mo 18.12.2017
Autor: fred97

Aufgabe
Sei $f: [mm] \IR \to \IR$ [/mm] stetig und es gelte $|f(x)| [mm] \to \infty$ [/mm] für $|x| [mm] \to \infty$. [/mm]

Man zeige: $f$ ist surjektiv [mm] \gdw $f(\IR)$ [/mm] ist offen.

Diese, wie ich meine, reizvolle Aufgabe ist mir kürzlich über den Weg gelaufen. Mit Weihnachten hat sie nichts zu tun. Ich bitte mal wieder darum, dass einer der Moderatoren die Aufgabe in der üblichen Art kennzeichnet.

Danke und Gruß

FRED



        
Bezug
Surjektivität: Dummy-Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:14 Mo 18.12.2017
Autor: ChopSuey

Hallo Fred,

ich bin mal so frei und stelle die Dummy-Frage, damit die Übungsaufgabe unter den offenen Fragen sichtbar bleibt.

LG,
ChopSuey

Bezug
                
Bezug
Surjektivität: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:59 So 24.12.2017
Autor: fred97

Die Frage ist beantwortet !

Bezug
        
Bezug
Surjektivität: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:41 Di 19.12.2017
Autor: Al-Chwarizmi


> Sei [mm]f: \IR \to \IR[/mm] stetig und es gelte [mm]|f(x)| \to \infty[/mm]
> für [mm]|x| \to \infty[/mm].
>  
> Man zeige: [mm]f[/mm] ist surjektiv [mm]\gdw[/mm]  [mm]f(\IR)[/mm] ist offen.

-----------------------------------------------

Betrachten wir die uneigentlichen Limites

         [mm] $\limes_{x \to -\infty}f(x)$ [/mm]  und  [mm] $\limes_{x \to +\infty}f(x)$ [/mm]

welche nach Voraussetzung existieren müssen.  (***)

Sind diese beiden Grenzwerte unterschiedlich
(also [mm] +\infty [/mm] und [mm] -\infty [/mm] oder umgekehrt), so
durchläuft die Funktion nach dem Zwischenwertsatz
alle möglichen reellen Werte mindestens einmal.
f ist also surjektiv.
Der Wertebereich von f ist dann  [mm] f(\IR) [/mm] = [mm] \IR [/mm]  und
damit eine offene Menge.

Andernfalls, wenn die obigen uneigentlichen Grenz-
werte übereinstimmen (beide [mm] +\infty [/mm] oder beide [mm] -\infty), [/mm]
dann besitzt f entweder ein absolutes Minimum Min oder
ein absolutes Maximum Max.
Ebenfalls mittels Zwischenwertsatz ist dann ersichtlich,
dass im ersten Unterfall  [mm] f(\IR) [/mm] = [Min , [mm] +\infty) [/mm] und im
zweiten Unterfall   [mm] f(\IR) [/mm] = [mm] (-\infty [/mm] , Max] .
f ist also offensichtlich nicht surjektiv.
Diese Wertemengen sind halboffene Intervalle, also
keine offenen Mengen.

Da keine weiteren Alternativen für den generellen
Verlauf der Funktion f in Frage kommen, ist der
behauptete Zusammenhang erwiesen.

LG ,   Al-Chwarizmi


(***)Bemerkung:

Man könnte sich allenfalls noch den etwas exotischen
Fall vorstellen, wo die uneigentlichen Limites

         [mm] $\limes_{x \to -\infty}f(x)$ [/mm]  und  [mm] $\limes_{x \to +\infty}f(x)$ [/mm]

nicht (oder nicht beide) existieren, obwohl  [mm] $\limes_{|x| \to \infty}|f(x)|\ [/mm] =\ [mm] \infty$ [/mm]
Es verbliebe noch zu zeigen, dass dieses Verhalten
nicht mit der Stetigkeit von f vereinbar ist.  


Bezug
                
Bezug
Surjektivität: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:27 Di 19.12.2017
Autor: fred97


> > Sei [mm]f: \IR \to \IR[/mm] stetig und es gelte [mm]|f(x)| \to \infty[/mm]
> > für [mm]|x| \to \infty[/mm].
>  >  
> > Man zeige: [mm]f[/mm] ist surjektiv [mm]\gdw[/mm]  [mm]f(\IR)[/mm] ist offen.
>  -----------------------------------------------

Hallo Al,


>  
> Betrachten wir die uneigentlichen Limites
>  
> [mm]\limes_{x \to -\infty}f(x)[/mm]  und  [mm]\limes_{x \to +\infty}f(x)[/mm]
>  
> welche nach Voraussetzung existieren müssen.  (***)
>  
> Sind diese beiden Grenzwerte unterschiedlich
> (also [mm]+\infty[/mm] und [mm]-\infty[/mm] oder umgekehrt), so
>  durchläuft die Funktion nach dem Zwischenwertsatz
>  alle möglichen reellen Werte mindestens einmal.
>  f ist also surjektiv.
>  Der Wertebereich von f ist dann  [mm]f(\IR)[/mm] = [mm]\IR[/mm]  und
>  damit eine offene Menge.

O.K.


>  
> Andernfalls, wenn die obigen uneigentlichen Grenz-
>  werte übereinstimmen (beide [mm]+\infty[/mm] oder beide [mm]-\infty),[/mm]
>  dann besitzt f entweder ein absolutes Minimum Min oder
>  ein absolutes Maximum Max.
> Ebenfalls mittels Zwischenwertsatz ist dann ersichtlich,
>  dass im ersten Unterfall  [mm]f(\IR)[/mm] = [Min , [mm]+\infty)[/mm] und im
>  zweiten Unterfall   [mm]f(\IR)[/mm] = [mm](-\infty[/mm] , Max] .
>  f ist also offensichtlich nicht surjektiv.
>  Diese Wertemengen sind halboffene Intervalle, also
>  keine offenen Mengen.

Du solltest noch begründen, warum Min bzw. Max existieren.


>  
> Da keine weiteren Alternativen für den generellen
>  Verlauf der Funktion f in Frage kommen, ist der
>  behauptete Zusammenhang erwiesen.

O.K.

Gruß FRED


>  
> LG ,   Al-Chwarizmi
>
>
> (***)Bemerkung:
>  
> Man könnte sich allenfalls noch den etwas exotischen
>  Fall vorstellen, wo die uneigentlichen Limites
>  
> [mm]\limes_{x \to -\infty}f(x)[/mm]  und  [mm]\limes_{x \to +\infty}f(x)[/mm]
>  
> nicht (oder nicht beide) existieren, obwohl  [mm]\limes_{|x| \to \infty}|f(x)|\ =\ \infty[/mm]
>  
> Es verbliebe noch zu zeigen, dass dieses Verhalten
>  nicht mit der Stetigkeit von f vereinbar ist.  
>  


Bezug
                        
Bezug
Surjektivität: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:31 Di 19.12.2017
Autor: Al-Chwarizmi


> Du solltest noch begründen, warum Min bzw. Max
> existieren.

Nun ja, das ist einer der Punkte, die ich für praktisch
"trivial" hielt:

Zu jeder Funktion mit den vorausgesetzten Eigenschaften
und beispielsweise  [mm] $\limes_{x\to \infty}f(x)\ [/mm] =\ [mm] \limes_{x\to -\infty}f(x)\ [/mm] =\ [mm] +\infty$ [/mm]  gibt es
geeignete kompakte Intervalle [a,b] , auf welche man dann
den Satz von Weierstrass anwenden kann.

Auf eine entsprechende "Konstruktionsvorschrift" will
ich aber hier verzichten. Meine eigentliche (anschauliche)
Überlegung halte ich ohnehin für leicht begreiflich:
Das Bild [mm] f(\IR) [/mm] in [mm] \IR [/mm] unter einer stetigen Funktion muss
eine zusammenhängende Menge sein, mit anderen Worten
ein Intervall. Falls dieses Intervall z.B. von unten beschränkt
ist (dann kann es nicht auch oben beschränkt sein), dann
muss die größte untere Schranke dieses Intervalls zum
Intervall gehören - eben nach dem Satz von Weierstraß.

LG ,   Al-Chw.    


Bezug
        
Bezug
Surjektivität: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:46 Di 19.12.2017
Autor: donquijote


> Sei [mm]f: \IR \to \IR[/mm] stetig und es gelte [mm]|f(x)| \to \infty[/mm]
> für [mm]|x| \to \infty[/mm].

Hallo,
f lässt sich zu einer stetigen Funktion [mm]{\bar{\mathbb R}}\to{\bar{\mathbb R}}[/mm] fortsetzen, wobei [mm]{\bar{\mathbb R}}[/mm] die Ein-Punkt-Kompaktifizierung von [mm]\mathbb{R}[/mm] bezeichnet. [mm]f({\bar{\mathbb R}})[/mm] ist kompakt, [mm]f(\mathbb R)=f({\bar{\mathbb R}})\setminus\{\infty\}[/mm] kann nur dann nichtleer und offen sein, wenn [mm]f({\bar{\mathbb R}})={\bar{\mathbb R}}[/mm].

>  
> Man zeige: [mm]f[/mm] ist surjektiv [mm]\gdw[/mm]  [mm]f(\IR)[/mm] ist offen.
>  Diese, wie ich meine, reizvolle Aufgabe ist mir kürzlich
> über den Weg gelaufen. Mit Weihnachten hat sie nichts zu
> tun. Ich bitte mal wieder darum, dass einer der Moderatoren
> die Aufgabe in der üblichen Art kennzeichnet.
>  
> Danke und Gruß
>
> FRED
>  
>  


Bezug
                
Bezug
Surjektivität: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:30 Di 19.12.2017
Autor: fred97

Hallo donquijote,

allse O.K., aber man muss sich schon mit Ein-Punkt-Kompaktifizierung auskennen !

Gruß FRED

Bezug
        
Bezug
Surjektivität: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:41 Di 19.12.2017
Autor: fred97

Meine Lösung: sei [mm] $A=f(\IR)$ [/mm] und sei [mm] (a_n) [/mm] eine konvergente Folge in $A$ mit Limes $a$. Dann gibt es eine Folge [mm] $(x_n)$ [/mm] mit [mm] a_n=f(x_n) [/mm] für $n [mm] \in \IN$. [/mm]

Wäre [mm] (x_n) [/mm] unbeschränkt, so gäbe es eine Teilfolge [mm] (x_{n_k}) [/mm] von [mm] (x_n) [/mm] mit [mm] |x_{n_k}| \to \infty. [/mm] Nach Vor. hätten wir dann [mm] |a_{n_k}|=|f(x_{n_k})| \to \infty, [/mm] im Widerspruch zu [mm] $|a_{n_k}| \to [/mm] |a|$.

Damit ist also [mm] (x_n) [/mm] beschränkt und enthält nach Bolzano-Weierstraß eine konvergente Teilfolge  [mm] (x_{n_k}). [/mm] Der Limes dieser Teilfolge sei [mm] x_0. [/mm]

Da $f$ stetig ist, haben wir

  [mm] a_{n_k}=f(x_{n_k}) \to f(x_0), [/mm]

also [mm] $a=f(x_0) \in [/mm] A$.

damit ist $A$ abgeschlossen.

Ist $f$ surjektiv, so ist $A$ offen. Ist umgekehrt $A$ offen, so ist $A$ offen und abgeschlossen, also $A= [mm] \IR$. [/mm]

FRED

Bezug
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