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Forum "Diskrete Mathematik" - Surjektivität beweisen
Surjektivität beweisen < Diskrete Mathematik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Surjektivität beweisen: Verständnisproblem
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:45 Fr 11.01.2019
Autor: magics

Aufgabe
Gegeben ist Abbildung $h: [mm] \IN \to \IZ$ [/mm] mit [mm] $h(x)=\begin{cases} \bruch{x+1}{2}, & \mbox{falls } x \mbox{ ungerade} \\ -\bruch{x}{2}, & \mbox{falls } x \mbox{ gerade} \end{cases}$ [/mm]

Zu beweisen ist die Bijektivität von h(x). Mit geht es lediglich um die Surjektivität für den Fall $y < 0$

Hallo, wie in der Aufgabenstellung beschrieben, habe ich eine Frage zu dem Beweis der Surjektivität für den Fall $y<0$. Zunächst präsentiere ich die Lösung, dann folgt die Frage.

Lösung Surjektivität für $y<0$:

(1) Ist $y<0$ so kommt nur die Teilfunktion [mm] $h(x)=-\bruch{x}{2}$ [/mm] in Frage.
(2) Wir stellen die Teilfunktion nach x um und erhalten $x:=2*|y|$ (dann ist x gerade)
(3) Wegen der Definition von h und wegen $y<0$ folgt $h(x) = [mm] -\bruch{x}{2}=-\bruch{2|y|}{2}=-|y|=-(-y)=y$ [/mm]

Frage:
In (2) wurde $x:=2*|y|$ formuliert, weil $|y<0|$ und [mm] $x\in\IN$. [/mm] In (3) wird das dann eingesetzt. Warum dürfen wir $|y|$ zu $(-y)$ zurück-auflösen?

        
Bezug
Surjektivität beweisen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:55 Fr 11.01.2019
Autor: fred97


> Gegeben ist Abbildung [mm]h: \IN \to \IZ[/mm] mit [mm]h(x)=\begin{cases} \bruch{x+1}{2}, & \mbox{falls } x \mbox{ ungerade} \\ -\bruch{x}{2}, & \mbox{falls } x \mbox{ gerade} \end{cases}[/mm]
>  
> Zu beweisen ist die Bijektivität von h(x). Mit geht es
> lediglich um die Surjektivität für den Fall [mm]y < 0[/mm]
>  Hallo,
> wie in der Aufgabenstellung beschrieben, habe ich eine
> Frage zu dem Beweis der Surjektivität für den Fall [mm]y<0[/mm].
> Zunächst präsentiere ich die Lösung, dann folgt die
> Frage.
>  
> Lösung Surjektivität für [mm]y<0[/mm]:
>  
> (1) Ist [mm]y<0[/mm] so kommt nur die Teilfunktion
> [mm]h(x)=-\bruch{x}{2}[/mm] in Frage.
>  (2) Wir stellen die Teilfunktion nach x um und erhalten
> [mm]x:=2*|y|[/mm] (dann ist x gerade)
>  (3) Wegen der Definition von h und wegen [mm]y<0[/mm] folgt [mm]h(x) = -\bruch{x}{2}=-\bruch{2|y|}{2}=-|y|=-(-y)=y[/mm]
>  
> Frage:
>  In (2) wurde [mm]x:=2*|y|[/mm] formuliert, weil [mm]|y<0|[/mm] und [mm]x\in\IN[/mm].
> In (3) wird das dann eingesetzt. Warum dürfen wir [mm]|y|[/mm] zu
> [mm](-y)[/mm] zurück-auflösen?


Das ist doch gerade die Definition des Betrages ! Da $y<0$ ist, ist

$|y|=-y.$


Bezug
                
Bezug
Surjektivität beweisen: Danke
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:25 Fr 11.01.2019
Autor: magics

Ok... jetzt ist es mir klar. Wie dumm von mir.

Danke Fred!

Bezug
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