Surjektivität bil. Abbildung < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:50 Do 13.01.2011 | | Autor: | Sujentha |
| Aufgabe | [mm]K[T]_d[/mm] bezeichne den K-Vektorraum der Polynome vom Grad höchstens d.Wir betrachten die bilineare Abbildung [mm]\alpha:K[T]_2 \times K[T]_2 \to K[T]_4[/mm],die dem Paar (f,g) das Produkt [mm]f \cdot g[/mm] zuordnet.Ihre Aufgabe ist es zu untersuchen, ob [mm]\alpha[/mm] surjektiv ist. Dabei sei
(i) K=[mm]\IC[/mm]
(ii) K=[mm]\IR[/mm]
(iii)K=[mm]\IQ[/mm]
(iv) K=[mm]\IF_2[/mm] |
Hallo,
also ich habe mir folgendes überlegt:
(ii)
K=[mm]\IR[/mm]
[mm]t^2+1 \in \IR[T]_4[/mm] hat kein Urbild, denn [mm]t^2+1[/mm] als Produkt wäre [mm](t^2+1)=(t+i)(t-i)[/mm] und [mm]i \notin \IR[/mm] somit nicht surjektiv
(iii)
K=[mm]\IQ[/mm]
[mm]t^2-2 \in \IQ[T]_4[/mm] hat kein Urbild, denn [mm]t^2-2[/mm] als Produkt wäre [mm](t^2-2)=(t- \wurzel{2})(t+\wurzel{2})[/mm] und [mm]\wurzel{2} \notin \IQ[/mm]
Also auch hier keine Surjektivität
Ich hoffe,dass das soweit erstmal richtig ist.
Ich komme nur leider bei (i) und (iv) nicht weiter,bin mir zwar ziemlich sicher,dass es für die komplexen Zahlen surjektiv ist,weiß jedoch nicht wie ich's zeigen soll.
Und für den [mm]\IF_2[/mm] hab ich weder einen Beweis noch ein Gegenbeispiel für Surjektivität finden können.
Hoffe daher,dass ihr mir weiterhelfen könntet bei den anderen beiden Teilaufgaben.
Gruß,Sujentha.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:59 Do 13.01.2011 | | Autor: | gfm |
> [mm]K[T]_d[/mm] bezeichne den K-Vektorraum der Polynome vom Grad
> höchstens d.Wir betrachten die bilineare Abbildung
> [mm]\alpha:K[T]_2 \times K[T]_2 \to K[T]_4[/mm],die dem Paar (f,g)
> das Produkt [mm]f \cdot g[/mm] zuordnet.Ihre Aufgabe ist es zu
> untersuchen, ob [mm]\alpha[/mm] surjektiv ist. Dabei sei
> (i) K=[mm]\IC[/mm]
> (ii) K=[mm]\IR[/mm]
> (iii)K=[mm]\IQ[/mm]
> (iv) K=[mm]\IF_2[/mm]
>
> Hallo,
>
> also ich habe mir folgendes überlegt:
>
> (ii)
> K=[mm]\IR[/mm]
> [mm]t^2+1 \in \IR[T]_4[/mm] hat kein Urbild, denn [mm]t^2+1[/mm] als Produkt
> wäre [mm](t^2+1)=(t+i)(t-i)[/mm] und [mm]i \notin \IR[/mm] somit nicht
> surjektiv
[mm] t^2+1=(t^2+1)*1
[/mm]
[mm] (t^2+1),1\in \IR[T]_2
[/mm]
>
> (iii)
> K=[mm]\IQ[/mm]
> [mm]t^2-2 \in \IQ[T]_4[/mm] hat kein Urbild, denn [mm]t^2-2[/mm] als Produkt
> wäre [mm](t^2-2)=(t- \wurzel{2})(t+\wurzel{2})[/mm] und [mm]\wurzel{2} \notin \IQ[/mm]
Ebenso.
LG
gfm
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Oh Mist,das hatte ich überhaupt nicht bedacht... :-(
Hast du sonst noch einen Tipp für mich?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:28 Do 13.01.2011 | | Autor: | gfm |
> Oh Mist,das hatte ich überhaupt nicht bedacht... :-(
> Hast du sonst noch einen Tipp für mich?
Wenn ich z.B. [mm] \IC [/mm] betrachte hat dort jedes Polynom 4-ten Grades genau 4 (gegebenenfalls mehrfache) Nullstellen [mm] p=a*(x-x_1)*...*(x-x_4). [/mm] Daraus kann man immer zwei Polynome 2-ten Gerades bauen.
LG
gfm
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:43 Do 13.01.2011 | | Autor: | Sujentha |
Okay,also würde das doch bedeuten,dass es für [mm]\IC[/mm] surjektiv ist,oder?
Und für K=[mm]\IR[/mm] kann ich doch dann [mm]t^4+1[/mm] als Gegenbeispiel bringen,oder?
Also $ [mm] (t^4+1)=(t^2+i)(t^2-i) [/mm] $ und [mm]i \notin \IR[/mm]
Meine vorher genannten Beispiele hatten also einfach nur einen zu kleinen Grad,sie hätten anstatt vom Grad 2 vom Grad 4 sein müssen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:42 Sa 15.01.2011 | | Autor: | Lippel |
Nabend,
> Okay,also würde das doch bedeuten,dass es für [mm]\IC[/mm]
> surjektiv ist,oder?
Genau.
> Und für K=[mm]\IR[/mm] kann ich doch dann [mm]t^4+1[/mm] als Gegenbeispiel
> bringen,oder?
> Also [mm](t^4+1)=(t^2+i)(t^2-i)[/mm] und [mm]i \notin \IR[/mm]
Richtig.
Für [mm] $K=\IF_2$ [/mm] betrachte das Polynom: [mm][mm] f:=t^4+t+1\:[/mm] [mm]
Zunächst hat [mm]f\:[/mm] keine Nullstellen in [mm] $\IF_2$, [/mm] d.h. falls es [mm]g, h \in \IF_2[t]_2[/mm] gibt mit [mm]f= gh\:[/mm], so dürfen auch diese keine Nullstelle haben. Es gibt aber in [mm]\IF_2{[t]_2}\:[/mm] nur ein einziges Polynom ohne Nullstelle, nämlich [mm]t^2+t+1\:[/mm] (das kann man sehn, indem man sich einfach mal alle hinschreibt, es gibt ja nicht so viele, da die Koeffizienten nur 0 und 1 sein dürfen). Es ist aber [mm] $(t^2+t+1)*(t^2+t+1) \not=f$. [/mm] Damit kann es eine solche Zerlegung nicht geben und damit ist deine Abbildung nicht surjektiv.
LG Lippel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:56 Sa 15.01.2011 | | Autor: | Sujentha |
Vielen Dank für deine Antwort
$ [mm] f=t^4+t+1 [/mm] $ genau das Polynom hatte ich sogar auch schon hier auf meinem Zettel stehn (neben einigen anderen gescheiterten Versuchen),doch ich hatte Probleme das im [mm]\IF_2[/mm] zu begründen. Danke nochmal.
LG, Sujentha.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:20 Sa 15.01.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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