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| Aufgabe | Sei G eine Gruppe der Ordnung 40 und S [mm] \subset [/mm] G eine 5-Sylow-Gruppe.
Dann gilt:
a) Ist g [mm] \in [/mm] G ein Element der Ordnung 5, so gilt g [mm] \in [/mm] S
b) S ist zyklisch |
Mir ist leider nicht klar, warum die beiden Dinge gelten.
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moin,
Ein Element der Ordnung 5 liegt ja sicher in seinem eigenen Erzeugnis, das heißt also ist $x [mm] \in [/mm] G$ ein Element der Ordnung 5 und $H := < x >$ so gilt $x [mm] \in [/mm] H$.
Weiterhin ist $|H|=5$, womit $H$ eine 5-Sylow-Gruppe von $G$ ist.
Nun wäre es natürlich schön zu zeigen, dass es nur eine solche Gruppe gibt, denn da $x$ beliebig war, folgt daraus Teil a).
Über die Anzahl gewisser Sylow-Untergruppen weißt du ja sicher schon ein wenig was?
Zu Teil b) verwende einfach, dass $S$ eine Gruppe der Ordnung $5$ und $5$ eine Primzahl ist.
lg
Schadow
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Du meinst sicher, dass es nur eine 5-Sylowgruppe gilt (Sylow-Sätze)
Dankeschön!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:01 Do 14.02.2013 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Genau, es gibt hier nur eine Sylow-5-Untergruppe. Also muss schon [mm] $\left< x \left>=S$ gelten.
[/mm]
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