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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:37 Sa 08.12.2007 | | Autor: | MichiNes |
| Aufgabe | a) Sei n ungerade, n [mm] \not= [/mm] 1. Zeige mit dem Satz von Sylow, das [mm] D_{n} [/mm] keinen Normalteiler der Ordnung 2 haben kann.
b) Sei n gerade, n [mm] \not= [/mm] 2. Zeige: [mm] D_{n} [/mm] hat einen Normalteiler der Ordnung 2. |
Hallo Leute,
wir wissen nicht, wie die obige Aufgabe geht, weil uns nicht ganz klar ist, wo denn der Zusammenhang zwischen den Sylow-Sätzen und Normalteilern liegt. Wär super wenn jemand eine Idee dazu hat und uns kurz helfen könnte!!
Danke schon mal.
Grüße
Michi
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Hallo,
für [mm] n\in [/mm] 2 Z hat [mm] D_n [/mm] in den Drehungen eine Untergruppe vom Index 2, also einen NT-
Für [mm] n\not\in [/mm] Z ist die Kardinalität von [mm] D_n [/mm] nicht durch zwei zu teilen, ergo hat diese Gruppe auch keinen NT vom Index 2.
Greez
TS
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:48 Sa 08.12.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo TS
> für [mm]n\in[/mm] 2 Z hat [mm]D_n[/mm] in den Drehungen eine Untergruppe vom
> Index 2, also einen NT-
Es hat dort eine Untergruppe von der Ordnung 2 (danach hat der OP gefragt!). Dass diese ein NT ist, muss man noch zeigen.
Die Elemente von Ordnung 2 ausserhalb der Drehungen eigenen sich zumindest nicht als NT.
> Für [mm]n\not\in[/mm] Z ist die Kardinalität von [mm]D_n[/mm] nicht durch
> zwei zu teilen, ergo hat diese Gruppe auch keinen NT vom
> Index 2.
Das ist falsch: [mm] $|D_n| [/mm] = 2 n$ und somit ist das immer durch 2 teilbar.
Zur Aufgabe: Die Sylow-Saetze liefern in diesem Fall, dass eine $2$-Sylow-UG genau 2 Elemente hat. Eine $2$-Sylow-UG ist nun genau dann ein Normalteiler, wenn es genau eine davon gibt. Da es aber $n$ Stueck gibt (naemlich jede UG der Ordnung 2 ist eine solche, oder anders gesagt, zu jedem Element der Ordnung 2), und $n$ nicht 1 ist, ist eine solche UG also niemals Normalteiler.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:54 Sa 08.12.2007 | | Autor: | Leni-H |
Wir verstehen noch nicht ganz was du meinst...
Also wir haben [mm] |D_{n}| [/mm] = 2n
-> [mm] N_{2}(G) \equiv [/mm] 1 (modulo 2) und [mm] N_{2}G [/mm] teilt n und n ist ungerade.
Aber daraus kann man doch nur schließen, dass die Anzahl der 2-Sylow-Gruppen ungerade sein muss, oder?
Somit könnte doch die Anzahl der 2-Sylow-Gruppen auch 1 sein, oder? Bzw. woraus kann man schließen, dass sie dies nicht sein kann?
Noch kurz eine andere Frage:
Es gilt ja: Wenn die Anzahl der p-Sylow-Gruppen =1 ist, ist die p-Sylow-Gruppe ein Normalteiler.
Gilt auch:
Wenn die Anzahl der p-Sylow Gruppen > 1 ist, ist keine der p-Sylow-Gruppen Normalteiler???
Liebe Grüße!!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:40 Sa 08.12.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Wir verstehen noch nicht ganz was du meinst...
>
> Also wir haben [mm]|D_{n}|[/mm] = 2n
>
> -> [mm]N_{2}(G) \equiv[/mm] 1 (modulo 2) und [mm]N_{2}G[/mm] teilt n und n
> ist ungerade.
>
> Aber daraus kann man doch nur schließen, dass die Anzahl
> der 2-Sylow-Gruppen ungerade sein muss, oder?
Genau. Allerdings kannst du dir die Gruppe [mm] $D_n$ [/mm] genauer anschauen, also die Definition davon. Ist [mm] $D_n [/mm] = [mm] \langle \sigma, \tau \rangle$ [/mm] mit [mm] $\tau^2 [/mm] = 1$, [mm] $\sigma^n [/mm] = 1$ und [mm] $\tau \sigma \tau [/mm] = [mm] \sigma^{-1}$, [/mm] so siehst du, dass die Elemente [mm] $\tau$ [/mm] und [mm] $\sigma \tau \sigma^{-1}$ [/mm] zwei verschiedene Elemente der Ordnung 2 sind, womit es also mindestens zwei verschiedene $2$-Sylow-Untergruppen gibt.
> Noch kurz eine andere Frage:
> Es gilt ja: Wenn die Anzahl der p-Sylow-Gruppen =1 ist,
> ist die p-Sylow-Gruppe ein Normalteiler.
Genau.
> Gilt auch:
> Wenn die Anzahl der p-Sylow Gruppen > 1 ist, ist keine der
> p-Sylow-Gruppen Normalteiler???
Ja, denn zwei verschiedene $p$-Sylow-Untergruppen sind konjugiert, womit keine von beiden ein Normalteiler sein kann (bei Normalteilern sind die Konjugierten ja gerade der Normalteiler selber und nichts anderes).
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:10 Sa 08.12.2007 | | Autor: | Leni-H |
Ok, ich versteh was du meinst: In [mm] D_{n} [/mm] gibt es mindestens 2 Elemente der Ordnung 2 und somit kann schon [mm] N_{2} [/mm] nicht 1 sein, weil dann würde es nur ein Element der Ordnung 2 geben, oder?
Aber was hat das jetzt genau damit zu tun, dass n ungerade ist... Wo bring ich das denn genau ein. Hab ich jetzt hier oben ja nicht gebraucht....
Aufgabenteil b ist nämlich, dass [mm] D_{n} [/mm] einen Normalteiler hat, wenn g gerade und nicht 2 ist...... Wie kann ich das dann hier zeigen?
Wie genau äußert sich der Unterschied, dass n gerade bzw. ungerade ist?
LG!!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:53 So 09.12.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo Leni
> Ok, ich versteh was du meinst: In [mm]D_{n}[/mm] gibt es mindestens
> 2 Elemente der Ordnung 2 und somit kann schon [mm]N_{2}[/mm] nicht 1
> sein, weil dann würde es nur ein Element der Ordnung 2
> geben, oder?
Ja, da die Gruppenordnung von der Form $2 [mm] \cdot [/mm] n$ mit $n$ ungerade ist. Waere $n$ gerade, so wuerde die $2$-Sylow-Gruppe aus mindestens vier Elementen bestehen, und du koenntest nicht (ganz) so (einfach) argumentieren.
> Aber was hat das jetzt genau damit zu tun, dass n ungerade
> ist... Wo bring ich das denn genau ein. Hab ich jetzt hier
> oben ja nicht gebraucht....
Siehe oben.
> Aufgabenteil b ist nämlich, dass [mm]D_{n}[/mm] einen Normalteiler
> hat, wenn g gerade und nicht 2 ist...... Wie kann ich das
> dann hier zeigen?
Nachrechnen! Sei [mm] $\sigma$ [/mm] eine Drehung mit [mm] $\sigma^2 [/mm] = 1$, also [mm] $\sigma [/mm] = [mm] \sigma^2$. [/mm] Zeige, dass $g [mm] \sigma g^{-1} [/mm] = [mm] \sigma$ [/mm] ist fuer alle $g [mm] \in D_n$. [/mm] (Mach eine Fallunterscheidung zwischen Drehungen und Spiegelungen; fuer Erstere ist es sehr einfach, da die Drehungen eine zyklische, also insb. abelsche Gruppe bilden, und fuer Zweitere musst [mm] $\tau \sigma' \tau [/mm] = [mm] \sigma'^{-1}$ [/mm] beachten fuer eine Grunddrehung [mm] $\sigma'$. [/mm] Wenn dir das alles nichts sagt, schau dir die Definition von [mm] $D_n$ [/mm] an!)
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:21 So 09.12.2007 | | Autor: | Leni-H |
Hi Felix!
Du willst also zeigen, dass eine Untegruppe U={id, [mm] \sigma [/mm] } ein Normalteiler ist, oder? Aber wenn du [mm] \sigma [/mm] so wählst, dass [mm] \sigma^{2} [/mm] = id ist, dann wäre doch in U nur id enthalten und dann wäre U doch keine Untergruppe der Ordnung 2 mehr, oder?
LG!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:47 So 09.12.2007 | | Autor: | felixf |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Leni
> Du willst also zeigen, dass eine Untegruppe U={id, [mm]\sigma[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}
> ein Normalteiler ist, oder?
Genau.
> Aber wenn du [mm]\sigma[/mm] so wählst,
> dass [mm]\sigma^{2}[/mm] = id ist, dann wäre doch in U nur id
> enthalten und dann wäre U doch keine Untergruppe der
Wieso, [mm] $\sigma$ [/mm] ist doch auch drinnen? Und [mm] $\sigma \neq [/mm] id$!
LG Felix
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(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 18:49 Sa 08.12.2007 | | Autor: | felixf |
Siehe meine andere Mitteilung.
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