Sylow Sätze < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:33 Mi 05.04.2006 | | Autor: | cycilia |
| Aufgabe | G Gruppe |G| =mp, p prim, m < p.
Beweise G besitzt Untergruppe der Ordnung p mit p Normalteiler in G |
Nach dem ersten Sylowsatz besitzt G eine Untergruppe derOrdnung p. Diese ist eine p-Sylowgruppe.
Nach dem dritten Sylowsatz ist die Anzahl der p-Sylowgrupper hier 1,
da m < p. Hieraus folgt bereits, dass diese p-Sylowgruppe ein Normalteiler in G ist. Zumindest war das bei einer ähnlichen Aufgabe so. Warum verstehe ich allerdings nicht.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:05 Mi 05.04.2006 | | Autor: | statler |
Jetzt zu diesem Thema, Anja:
> G Gruppe |G| =mp, p prim, m < p.
> Beweise G besitzt Untergruppe der Ordnung p mit p
> Normalteiler in G
> Nach dem ersten Sylowsatz besitzt G eine Untergruppe
> derOrdnung p. Diese ist eine p-Sylowgruppe.
>
> Nach dem dritten Sylowsatz ist die Anzahl der
> p-Sylowgrupper hier 1,
> da m < p. Hieraus folgt bereits, dass diese p-Sylowgruppe
> ein Normalteiler in G ist. Zumindest war das bei einer
> ähnlichen Aufgabe so. Warum verstehe ich allerdings nicht.
Weil die p-Sylow-Gruppen zueinander konjugiert sind, d. h. durch innere Automorphismen aufeinander abgebildet werden. Wenn es nur eine gibt, bildet jeder innere Autom. diese auf sich ab, und damit ist sie ein NT!
LG
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:13 Mi 05.04.2006 | | Autor: | cycilia |
Ich habe verscht folgendes zu beweisen: G Gruppe, N Untergruppe von G. Wenn N als einzige Untergruppe die Ordnung p hat, dann ist N ein Normalteiler in G
N Normalteiler <=> [mm] aNa^{-1}= [/mm] N
[mm] aNa^{-1} [/mm] ist eine Untergruppe von G (lässt sich leicht nachrechnen).
Diese Untergruppe hat genausoviele Elemente, wie N, daher ist
n [mm] \mapsto ana^{-1} [/mm] eine Bijektion von N. Nach Def ist dieses also ein Normalteiler. Richtig?
Ich nehme an, mit innerem Automorphismus meinst du dann genau meine Bijektion. Stimmt also mit deiner Erklärung überein.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:44 Mi 05.04.2006 | | Autor: | statler |
Hi!
Wenn es zu einer vorgegebenen Ordnung nur eine Untergruppe gibt, dann muß das ein NT sein, das hast du dir gerade überlegt.
Bei p-Sylow-Gruppen, die natürlich alle die gleiche Ordnung haben, gilt umgekehrt noch mehr: Zu 2 davon gibt es immer einen inneren Automorphismus, der die eine in die andere überführt. Das ist bei beliebigen U-Gruppen gleicher Ordnung nicht unbedingt der Fall, denk z. B. an die Kleinsche Vierergruppe, die abelsch ist. Da ist jeder innere Autom. die Identität.
Grüße aus Harburg
Dieter
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