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Sylowgruppen: Tipp, Idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:02 So 15.11.2015
Autor: MinLi

Aufgabe
Sei p eine Primzahl und G eine endliche Gruppe der Ordnung |G|= [mm] p^{k} [/mm] m   mit ggT(p,m)=1.

a) Zeigen Sie, dass die Anzahl [mm] s_{p} [/mm] := [mm] |S_{p}| [/mm] der p-Sylowgruppen m teilt.

b) Sei 1 [mm] \le [/mm] l < k und U < G eine Untergruppe der Ordnung |U| = [mm] p^{l}. [/mm] Zeigen Sie, dass U in einer p-Sylowgruppe von G enthalten ist. (Hinweis: Betrachten Sie eine geeignete Wirkung von U auf [mm] S_{p}). [/mm]

Hallo,
es geht um die obige Aufgabe. Ich habe mir schon bisschen was überlegt aber bei der b) fehlt mir die Idee wie ich an den Beweis rangehen soll.

Zur a): In der Vorlesung haben wir folgende Bemerkung stehen: Sei H < G. Die Bahn von H |{H'<G | [mm] \exists [/mm] g: H' = [mm] gHg^{-1} [/mm] }| = [mm] (G:N_{G}(H)). [/mm] Nun habe ich mir gedacht, dass man diesen Beweis am besten so ausschreibt, dass man zum Schluss Lagrange ( |G| = |H| * (G:H) ) anwenden kann.
Jede p-Sylowgruppe ist eine Untergruppe von G, d.h. man kann die Lagrange-Formel in diesem Fall auch anwenden.
Die p-Sylowgruppen sind nach VL von der Ordnung [mm] p^{l}, [/mm] wobei l [mm] \le [/mm] k und l = max{n | [mm] p^{n} [/mm] teilt |G|}, insbesondere folgt daraus schon, dass |S| teilt [mm] p^{k} [/mm] mit S := p-Sylowgruppe.
Damit man a) aus der Lagrange-Formel schließen kann, gilt nur noch z.z., dass die Anzahl der p-Sylowgruppen = (G:S).
Sind meine Überlegungen bis jetzt richtig?
Leider weiß ich nicht genau wie man mit dem Index umgeht und in der VL haben wir ihn nur in der Lagrange-Formel und in dieser Bemerkung benutzt. Auf Wikipedia habe ich gelesen, dass der Index (G:U) die Mächtigkeit der Linknebenklassen G/U ist. Allerdings habe ich keine Idee wie mir das in diesem Beweis weiterhelfen kann und deshalb bräuchte ich hier ein bisschen Hilfe.


Zur b): Mit dieser Aufgabe kann ich weit weniger anfangen. Auch der Hinweis hilft mir nicht sonderlich viel.
Die p-Sylowgruppen sind von der Ordnung [mm] p^{h} [/mm] mit h = max{n | [mm] p^{n} [/mm] teilt |G|}.
Soll ich hier zeigen, dass l < h?
Ich sehe auch nicht wie eine Wirkung von U auf [mm] S_{p} [/mm] dabei helfen kann, diese Aussage zu beweisen, deshalb würde ich mich über eine kleine Hilfestellung freuen.


LG, MinLi

        
Bezug
Sylowgruppen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:08 So 15.11.2015
Autor: hippias


> Sei p eine Primzahl und G eine endliche Gruppe der Ordnung
> |G|= [mm]p^{k}[/mm] m   mit ggT(p,m)=1.
>  
> a) Zeigen Sie, dass die Anzahl [mm]s_{p}[/mm] := [mm]|S_{p}|[/mm] der
> p-Sylowgruppen m teilt.
>  
> b) Sei 1 [mm]\le[/mm] l < k und U < G eine Untergruppe der Ordnung
> |U| = [mm]p^{l}.[/mm] Zeigen Sie, dass U in einer p-Sylowgruppe von
> G enthalten ist. (Hinweis: Betrachten Sie eine geeignete
> Wirkung von U auf [mm]S_{p}).[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)


>  Hallo,
>  es geht um die obige Aufgabe. Ich habe mir schon bisschen
> was überlegt aber bei der b) fehlt mir die Idee wie ich an
> den Beweis rangehen soll.
>  
> Zur a): In der Vorlesung haben wir folgende Bemerkung
> stehen: Sei H < G. Die Bahn von H |{H'<G | [mm]\exists[/mm] g: H' =
> [mm]gHg^{-1}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

}| = [mm](G:N_{G}(H)).[/mm] Nun habe ich mir gedacht, dass
Das...

> man diesen Beweis am besten so ausschreibt, dass man zum

...verstehe ich nicht. welchen Beweis? Ausschreiben?

> Schluss Lagrange ( |G| = |H| * (G:H) ) anwenden kann.
> Jede p-Sylowgruppe ist eine Untergruppe von G, d.h. man
> kann die Lagrange-Formel in diesem Fall auch anwenden.
> Die p-Sylowgruppen sind nach VL von der Ordnung [mm]p^{l},[/mm]
> wobei l [mm]\le[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

k und l = max{n | [mm]p^{n}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

teilt |G|},

> insbesondere folgt daraus schon, dass |S| teilt [mm]p^{k}[/mm] mit S
> := p-Sylowgruppe.

Es gilt sogar $l=k$. Wieso?

>  Damit man a) aus der Lagrange-Formel schließen kann, gilt
> nur noch z.z., dass die Anzahl der p-Sylowgruppen = (G:S).
>  Sind meine Überlegungen bis jetzt richtig?

Deine Ueberlegungen sind ganz richtig bis auf die Vermutung, dass die Anzahl der $p$-Sylowgruppen $=(G:S)$ ist.

Ihr habt in der Vorlesung ganz bestimmt die richtige Formel
bewiesen.

>  Leider weiß ich nicht genau wie man mit dem Index umgeht
> und in der VL haben wir ihn nur in der Lagrange-Formel und
> in dieser Bemerkung benutzt. Auf Wikipedia habe ich
> gelesen, dass der Index (G:U) die Mächtigkeit der
> Linknebenklassen G/U ist. Allerdings habe ich keine Idee
> wie mir das in diesem Beweis weiterhelfen kann und deshalb
> bräuchte ich hier ein bisschen Hilfe.
>  
>
> Zur b): Mit dieser Aufgabe kann ich weit weniger anfangen.
> Auch der Hinweis hilft mir nicht sonderlich viel.
> Die p-Sylowgruppen sind von der Ordnung [mm]p^{h}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

mit h = max{n

> | [mm]p^{n}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

teilt |G|}.

>  Soll ich hier zeigen, dass l < h?
>  Ich sehe auch nicht wie eine Wirkung von U auf [mm]S_{p}[/mm] dabei
> helfen kann, diese Aussage zu beweisen, deshalb würde ich
> mich über eine kleine Hilfestellung freuen.

Keine Ideen, keine Punkte fuer die Hausaufgabe: so laeuft das eben. Welche Wirkungen von $U$ auf [mm] $S_{p}$ [/mm] fallen Dir denn ein?

>  
>
> LG, MinLi


Bezug
                
Bezug
Sylowgruppen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:00 Mo 16.11.2015
Autor: MinLi

k=l gilt nur, wenn die p-Sylowgruppen von der Ordnung [mm] p^{k} [/mm] sind. Wie soll man denn von dem was ich mir bis jetzt überlegt habe darauf kommen, dass k=l ist? Ich weiß ja bis jetzt nur, dass die Ordnung von G = [mm] p^{k} [/mm] * m ist und dass [mm] l\lek [/mm] ist. Mit dem was ich bis jetzt habe könnten die p-Sylowgruppen doch auch von der Ordnung p sein. Dann ist l=1 und p teilt [mm] p^{k}. [/mm]

Wir haben in der VL nur einen Satz zur Anzahl der p-Sylowgruppen und der besagt: Es gilt: [mm] |S_{p}| [/mm] teilt |G| und [mm] |S_{p}| \equiv [/mm] 1 mod p. Mit dieser Aussage kann man aber nicht Lagrange anwenden. Kann man aus diesem Satz folgern, dass [mm] |S_{p}| [/mm] m teilen muss, da [mm] |S_{p}| \equiv [/mm] 1 mod p und nicht 0 mod p ist, d.h. [mm] |S_{p}| [/mm] teilt nicht p, aber da [mm] |S_{p}| [/mm] Ordnung von G teilt muss [mm] |S_{p}| [/mm] m teilen?


zur b): Eine Wirkung von U auf [mm] S_{p} [/mm] ist ja eine Abbildung [mm] UxS_{p} \to S_{p} [/mm] mit (u,g) [mm] \mapsto [/mm] u*g wobei u*g dann in [mm] S_{p} [/mm] enthalten sein muss. Allerdings weiß man hier doch nicht wie [mm] S_{p} [/mm] aussieht, woher soll man dann wissen, ob u*g in [mm] S_{p} [/mm] enthalten ist oder nicht?


LG, MinLi

Bezug
                        
Bezug
Sylowgruppen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:34 Di 17.11.2015
Autor: hippias

Teile doch einmal vollstaendig euren Satz von Sylow mit. Dieser sollte aus $3$ oder $4$ Teilen bestehen.

Zur Frage $k=l$: Du hast die Voraussetzung nicht beruecksichtigt. Im uebrigen hast Du in Deiner ersten Nachricht selbst schon ein Argument gebracht, das den Schluss $k=l$ erlaubt.

Zu b) Ich kann mich nur wiederholen: wenn Dir keine einziges Beispiel fuer eine Wirkung von $U$ auf [mm] $S_{p}$ [/mm] einfaellt oder ein Beispiel aus der Vorlesung, das auf Deine Situation uebertragbar waere, dann wirst Du Dir keine Punkte fuer diese Uebung verdienen koennen.

Bezug
                                
Bezug
Sylowgruppen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:29 Mi 18.11.2015
Autor: MinLi

Wir haben folgende 2 Sätze über Sylowgruppen:
1.Sylowsatz: Es sei G eine endliche Gruppe, p Primzahl. Teilt [mm] p^{k} [/mm] die Ordnung von G, so hat G eine Untergruppe der Ordnung [mm] p^{k}. [/mm]

2.Sylowsatz: Sei G eine endliche Gruppe, p prim und [mm] S_{p} [/mm] die Menge der p-Sylowgruppen. Dann gelten:
Sylow 1): [mm] S_{p} \not= \emptyset [/mm]
Sylow 2): [mm] |S_{p}| [/mm] teilt |G| und [mm] |S_{p}| \equiv [/mm] 1 mod p
Sylow 3): Alle p-Sylowgruppen sind konjugiert.

Kann man nicht aus dem ersten Sylowsatz und aus der Definition von Sylowgruppen folgern, dass l=p? Also der erste Sylowsatz besagt ja, wenn [mm] p^{k} [/mm] die Ordnung von G teilt, also in diesem Fall [mm] p^{k} [/mm] * m, gibt es eine Untergruppe der Ordnung [mm] p^{k}. [/mm] Und die Definition besagt, dass dieses [mm] p^{k} [/mm] die p-Sylowgruppe ist, weil k maximal ist.


zu b): Wegen Sylow 3) könnte man sich vielleicht die Wirkung von U auf [mm] S_{p} [/mm] durch Konjugation ansehen. Diese Wirkung haben wir auch in einem Beweis benutzt. D.h. wir sehen uns
   [mm] UxS_{p} \to S_{p} [/mm]
  (u, s) [mm] \mapsto u*s*u^{-1} [/mm]
U ist ja von der Ordnung [mm] p^{l}. [/mm] Wie kann ich rausfinden wie die Elemente von U aussehen? Und die Elemente von [mm] S_{p}? [/mm]

LG, MinLi

Bezug
                                        
Bezug
Sylowgruppen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:54 Mi 18.11.2015
Autor: hippias

Na also, geht doch, wenn man 'mal in die Vorlesung guckt.

> Wir haben folgende 2 Sätze über Sylowgruppen:
>  1.Sylowsatz: Es sei G eine endliche Gruppe, p Primzahl.
> Teilt [mm]p^{k}[/mm] die Ordnung von G, so hat G eine Untergruppe
> der Ordnung [mm]p^{k}.[/mm]
>  
> 2.Sylowsatz: Sei G eine endliche Gruppe, p prim und [mm]S_{p}[/mm]
> die Menge der p-Sylowgruppen. Dann gelten:
>  Sylow 1): [mm]S_{p} \not= \emptyset[/mm]
>  Sylow 2): [mm]|S_{p}|[/mm] teilt
> |G| und [mm]|S_{p}| \equiv[/mm] 1 mod p
>  Sylow 3): Alle p-Sylowgruppen sind konjugiert.
>  
> Kann man nicht aus dem ersten Sylowsatz und aus der
> Definition von Sylowgruppen folgern, dass l=p? Also der
> erste Sylowsatz besagt ja, wenn [mm]p^{k}[/mm] die Ordnung von G
> teilt, also in diesem Fall [mm]p^{k}[/mm] * m, gibt es eine
> Untergruppe der Ordnung [mm]p^{k}.[/mm] Und die Definition besagt,
> dass dieses [mm]p^{k}[/mm] die p-Sylowgruppe ist, weil k maximal
> ist.

Richtig.

>  
>
> zu b): Wegen Sylow 3) könnte man sich vielleicht die
> Wirkung von U auf [mm]S_{p}[/mm] durch Konjugation ansehen. Diese
> Wirkung haben wir auch in einem Beweis benutzt. D.h. wir
> sehen uns
> [mm]UxS_{p} \to S_{p}[/mm]
>    (u, s) [mm]\mapsto u*s*u^{-1}[/mm]
>  U ist ja
> von der Ordnung [mm]p^{l}.[/mm]

Das ist genau die richtige Idee.

> Wie kann ich rausfinden wie die
> Elemente von U aussehen? Und die Elemente von [mm]S_{p}?[/mm]

Ich weiss nicht, was diese Fragen sollen: wie sollen denn die Elemente von $U$ "aussehen"? Und die Elemente von [mm] $S_{p}$ [/mm] sind nach Definition die $p$-Sylowgruppen!

Gehe so vor:
1. Finde heraus, welche Ordnungen fuer die Orbits der Operation von $U$ auf [mm] $S_{p}$ [/mm] moeglich sind.
2. Schlussfolgere aus 1. und Sylow 2), dass es [mm] $P\in S_{p}$ [/mm] gibt, dessen Orbitlänge bezueglich Konjugation mit $U$  gleich $1$ ist.
3. Jetzt beweise, dass [mm] $U\leq [/mm] P$ gelten muss.
  

>  
> LG, MinLi


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