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Sylowsätze: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:24 Mi 18.05.2005
Autor: Peti

Hallo!
Ich hätte eine Frage, und zwar, wie beweise ich, dass es genau zwei nichtabelsche Gruppen der Ordnung 8 gibt?
Bei Gruppen der Ordnung 6 kann icht das irgendwie nachvollziehen, weil man die Primzahlen 2 und 3 hat. Bei Ordnung 8 aber nur die 2.
Vielen Dank
Peti

        
Bezug
Sylowsätze: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:02 Mi 18.05.2005
Autor: Julius

Hallo Peti!

Ist $G$ eine Gruppe der Ordnung $8$, so gibt es mindestens eine Element $a [mm] \in [/mm] G$ der Ordnung $4$.

Denn ansonsten wäre für alle [mm] $x,y\in [/mm] G$: [mm] $x^2=e$, $y^2=e$, $(xy)^2=e$ [/mm] und somit:

[mm] $xxyy=x^2y^2=e [/mm] = xyxy$,

also:

$xy=yx$,

d.h. $G$ wäre abelsch.

Dann ist [mm] $\langle [/mm] a [mm] \rangle$ [/mm] ein Normalteiler in $G$, d.h. man hat für $b [mm] \notin \langle [/mm] a [mm] \rangle$ [/mm] die Zerlegung:

$G = [mm] \{e,a,a^2,a^3\} \cup \{b,ab,a^2b,a^3b\}$. [/mm]

Man zeigt leicht:

$ba=a^3b$,

da alle anderen Annahmen zum Widerspruch führen

(etwa: $ba=a^2b [mm] \quad \Rightarrow \quad b=a^2ba^3 \quad \Rightarrow \quad a^2ba=b=a^2ba^2 \quad \Rightarrow \quad a^2=e$). [/mm]

Dies führt zu:

[mm] $(ab)^2=abab=aa^3bb=b^2$. [/mm]

Der einzige Freiheitsgrad, der noch bleibt, ist die Frage

$ord(b)=2$  oder  $ord(b)=4$.

Dies liefert die beiden nicht-abelschen Gruppen.

Im ersten Fall ist $G$ isomorph zur Diedergruppe [mm] $D_4$, [/mm] im zweiten Fall zur Quaternionengruppe.

Viele Grüße
Julius

Bezug
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