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Forum "Gruppe, Ring, Körper" - Sym = Aut?
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Sym = Aut?: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:17 Sa 13.03.2010
Autor: amai.psycho

Hallo Forum,

könnte es sein, dass, auf die Art, wie wir in der Vorlesung die Symmetriegruppe und die Gruppe der Automorphismen definiert haben, die beiden diesselbe Menge an Elementen beschreiben?

Sym(X) = Alle Bijektionen f:X -> X
Aut(X) = Alle Automorphismen f:X -> X

Bzw. wenn nicht, wo genau der liegt der Unterschied? Sind die beiden Mengen im Allgemeinen isomorph zueinander?

Vielen Dank schonmal für mögliche Antworten,
°amai
        
Bezug
Sym = Aut?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:37 Sa 13.03.2010
Autor: Blech

Hi,

nicht jede Bijektion ist ein Homomorphismus, oder?

ciao
Stefan
Bezug
                
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Sym = Aut?: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:51 Sa 13.03.2010
Autor: amai.psycho

Okay das sehe ich ein! Die Frage hatte ich deshalb, da ich in meinen Unterlagen einmal den Satz von Cayley stehen hab, in dem wir eine Linkstranslation definiert hatten mit L:G -> Sym(G), wobei L injektiv sei, was mir einleuchtet.
Zuvor hatten wie die Konjugation definiert, bzw. als induzierte Zuweisung I:G -> Aut(G), wobei I aber weder injektiv noch surjektiv sei, was ich im Moment nicht wirklich verstehe. Also mir ist klar, dass nicht notwendigerweise eines von beiden gelten muss, aber nicht klar, warum I nicht injektiv sein sollte.

Seh ich das zumindest richtig, dass gilt Aut(G) [mm] \le [/mm] Sym(G)?
Bezug
                        
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Sym = Aut?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:46 Sa 13.03.2010
Autor: SEcki

Fragen als Fragen und nicht als Mitteilungen stellen!

>  Also mir ist klar, dass nicht
> notwendigerweise eines von beiden gelten muss, aber nicht
> klar, warum I nicht injektiv sein sollte.

Es kann injektiv sein, muss es aber nicht - für abelsches G ist das Bild nur die Identität zB, für [m]\IZ_3[/m] ist die Abbildung dann weder surjektiv noch injektiv.

> Seh ich das zumindest richtig, dass gilt Aut(G) [mm]\le[/mm] Sym(G)?

Das ist klar.

SEcki
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Sym = Aut?: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:18 Sa 13.03.2010
Autor: felixf

Hallo!

> >  Also mir ist klar, dass nicht

> > notwendigerweise eines von beiden gelten muss, aber nicht
> > klar, warum I nicht injektiv sein sollte.
>  
> Es kann injektiv sein, muss es aber nicht - für abelsches
> G ist das Bild nur die Identität zB, für [m]\IZ_3[/m] ist die
> Abbildung dann weder surjektiv noch injektiv.

Um ganz genau zu sein: der Kern von $I$ ist gerade das Zentrum von $G$, also $Z(G) = [mm] \{ g \in G \mid \forall h \in G : g h = h g \}$. [/mm]

Damit kann man ueber diese Methode nur dann $G$ als Untergruppe von $Aut(G)$ auffassen, wenn das Zentrum von $G$ trivial ist. (Etwa weil $G$ eine nicht-abelsche []einfache Gruppe ist; ein Beispiel sind die []alternierenden Gruppen $G = [mm] A_n$ [/mm] mit $n [mm] \ge [/mm] 5$.)

LG Felix

Bezug
                                        
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Sym = Aut?: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:43 Sa 13.03.2010
Autor: SEcki


> Um ganz genau zu sein: der Kern von [mm]I[/mm] ist gerade das
> Zentrum von [mm]G[/mm], also [mm]Z(G) = \{ g \in G \mid \forall h \in G : g h = h g \}[/mm].

Was Surjektivität angeht, könnte []der Artikel zur äußeren Autmorphismengruppe interessant sein.

SEcki
Bezug
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