Symetrische Gruppe zyklisch? < Lerngruppe LinAlg < Universität < Vorkurse < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:28 Mo 23.10.2006 | | Autor: | Sashman |
| Aufgabe | Sei [mm] $(G,\circ)$ [/mm] eine Gruppe mit neutralen Element $e$, und sei [mm] $g\in [/mm] G$. Wir definiren [mm] $g^0=e$ [/mm] und [mm] $g^n=g^{n-1}\circ [/mm] g$ für alle [mm] $n\in\IN$, [/mm] also [mm] $g^n=g\circ ...\circ [/mm] g$ , $n$ mal.
$G$ heißt zyklisch, wenn es ein [mm] $g\in [/mm] G$ gibt, so dass für alle [mm] $x\in [/mm] G$ gilt: [mm] $x=g^n$ [/mm] für ein [mm] $n\in\IN_0$.
[/mm]
1. Beweisen Sie, dass [mm] $\{-1,1,i,-i\}$ [/mm] mit der Multiplikation in [mm] $\IC$ [/mm] zyklisch ist.
2. Beweisen Sie, dass [mm] $S_3$ [/mm] nicht zyklisch ist. |
1) laßt sich ja relativ schnell abfrühstücken mit Beispielrechnungen meint 4 Gleichungen.
2)
Habe da ein paar Schwierigkeiten mir die Elemente von [mm] $S_3$ [/mm] vorzu stellen:
sind das:
3 Transpositionen:
[mm] 1\to2 [/mm] , [mm] 1\to3 [/mm] , [mm] 2\to3
[/mm]
und die identische Abbildung
und zwei weitere (welche?) wegen 3!=6
stimmt das?
Würde mich also erst mal freuen über eine Klärung des Sachverhaltes, wie man mit [mm] $S_n$ [/mm] umgeht, freuen. Wenn dabei noch ein Hiweis für 2) rausspringt - SUPER.
MfG
Sashman
PS was haltet ihr von der Reihe
w,f,f,f,w,w,?,w,w,? bezüglich Aufgabe 2.1??
dabei bedeuten ? Unsicherheiten
wenn ihr andere Meinung seid oder Tips zu den ? habt macht doch einen neues Thema auf
Bis neulich Sashman
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> 2. Beweisen Sie, dass [mm]S_3[/mm] nicht zyklisch ist.
>
> Habe da ein paar Schwierigkeiten mir die Elemente von [mm]S_3[/mm]
> vorzu stellen:
Hallo,
[mm] S_3, [/mm] das kannst Du Dir vorstellen als die Abbildungen eines gleichseitigen Dreieckes auf sich selbst.
Die erste Abb. ist die Identität.
Dann Drehen um 120° und 240°, und Spiegeln jeweils an der Achse durch die Eckpunkte.
Klar, daß das nicht zyklisch ist, oder?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:30 Mo 23.10.2006 | | Autor: | Sashman |
Dank erst einmal für die Antwort.
Habe die Elemente von [mm] $S_3$ [/mm] also in 3 Drehungen und 3 Spigelungen derart eingeteilt:
[mm] \underline{Drehungen}
[/mm]
120° [mm] $\sigma_1=d_1=\pmat{1&2&3\\2&3&1}$
[/mm]
240° [mm] $\sigma_2=d_2=\pmat{1&2&3\\3&1&2}$
[/mm]
360° [mm] $\sigma_3=d_3=id=\pmat{1&2&3\\1&2&3}$
[/mm]
[mm] \underline{Spiegelungen}
[/mm]
[mm] $\sigma_4=s_1=\pmat{1&2&3\\1&3&2}$
[/mm]
[mm] $\sigma_5=s_2=\pmat{1&2&3\\2&1&3}$
[/mm]
[mm] $\sigma_6=s_3=\pmat{1&2&3\\3&2&1}$
[/mm]
Wenn ich nun nachweisen kann das sich keine Drehung als Hintereinanderausführung einer einzigen Spiegelung und das sich keine Spiegelung als Hintereinanderausführung einer einzigen Drehung darstellen läßt (jeweils mit Ausnahme von $id$ - hab ich dann gezeigt, dass [mm] $S_3$ [/mm] nicht zyklisch ist?
Die Beweisidee:
Annahme [mm] $S_3$ [/mm] sei zyklisch dann gibt es ein [mm] $\sigma_k\in S_3$ [/mm] $k=1,..,6$ , so dass für alle [mm] $\sigma_i\in S_3$ [/mm] $i=1,..,6$
[mm] $\sigma_i=\sigma_k^n$ $n\in\IN_0$ [/mm] gilt.
Leicht nachzuprüfen ist ja dass [mm] $\sigma_i\not=\sigma_j$ [/mm] für [mm] $i\not= [/mm] j$.
desweiteren für alle [mm] $\sigma\in d_i$ [/mm] $i=1,2,3$ (alle Drehungen)
[mm] $d_i^3=id$ [/mm] und [mm] $d_1^2=d_2=d_1^{-1}$ [/mm] und [mm] $d_2^2=d_1=d_2^{-1}$
[/mm]
und für alle [mm] $\sigma\in s_i$ [/mm] $i=1,2,3$ (alle Spiegelungen)
[mm] $s_i^2=id$ [/mm] und somit [mm] $s_i=s_i^{-1}$ [/mm] und $id$ ist neutrales Element von [mm] $S_3$
[/mm]
Annahme gesuchtes [mm] $\sigma_k\in d_i$ [/mm] $i=1,2,3$ also eine Spiegelung dann:
[mm] $d_j\not=s_i^{n}$ $n\in\IN$ [/mm] , $j=1,2$
also ist [mm] $\sigma_k\in d_i$ [/mm] $i=1,2$
dann aber:
[mm] $s_j\not=d_i^2$ [/mm] und [mm] $s_j\not= d_i^3$ [/mm] $j=1,2,3$
also ist [mm] $S_3$ [/mm] nicht zyklisch.
Begründet werden die einzelnen Schlüsse durch die Betrachtungen nach der ersten Annahme.
Idee ok?? Oder was ist anders zu machen??
MfG
Sashman
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> Habe die Elemente von [mm]S_3[/mm] also in 3 Drehungen und 3
> Spigelungen derart eingeteilt:
>
> [mm]\underline{Drehungen}[/mm]
>
> 120° [mm]\sigma_1=d_1=\pmat{1&2&3\\2&3&1}[/mm]
>
> 240° [mm]\sigma_2=d_2=\pmat{1&2&3\\3&1&2}[/mm]
>
> 360° [mm]\sigma_3=d_3=id=\pmat{1&2&3\\1&2&3}[/mm]
>
> [mm]\underline{Spiegelungen}[/mm]
>
> [mm]\sigma_4=s_1=\pmat{1&2&3\\1&3&2}[/mm]
>
> [mm]\sigma_5=s_2=\pmat{1&2&3\\2&1&3}[/mm]
>
> [mm]\sigma_6=s_3=\pmat{1&2&3\\3&2&1}[/mm]
>
Ach, den Beweis kannst Du Dir viel einfacher machen:
Die zyklische Gruppe der Ordnung 6 wird von einem Element der Ordnung 6 erzeugt [mm] (1,a,a^2,a^2,a^3,a^4,a^5)
[/mm]
Wäre [mm] S_3 [/mm] zyklisch, so müßte es so ein Element geben. Und? Gibt's so eins?
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:06 Mo 23.10.2006 | | Autor: | Sashman |
Tach nochmal angela!
> Ach, den Beweis kannst Du Dir viel einfacher machen:
>
> Die zyklische Gruppe der Ordnung 6 wird von einem Element
> der Ordnung 6 erzeugt [mm](1,a,a^2,a^2,a^3,a^4,a^5)[/mm]
>
> Wäre [mm]S_3[/mm] zyklisch, so müßte es so ein Element geben. Und?
> Gibt's so eins?
>
> Gruß v. Angela
Beachte bitte das wir Ersties sind und der Kurs LinAlg heißt. Denke das wir später, vielleicht auch erst nach/in der Algebra Vorlesung; deinen Hinweis nachvollziehen können.
Kannst du deshalb nochmal über den Ansatz spähen :o) und Anmerkungen genau dazu machen??
Ordnung und zyklische Gruppe nicht eingeführt.
Wenn du hier allerdings einige erklärende Bemerkungen zu diesen Begriffen machen möchtest - ich für meinen Teil bin nicht abgeneigt das mal durchzuschauen - auch wenn vielleicht nicht alles bis zum letzten verstanden wird.
Danke
Sashman der sich lernwillig zeigt ;o)
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Aufgabe
Sei $ [mm] (G,\circ) [/mm] $ eine Gruppe mit neutralen Element e, und sei $ [mm] g\in [/mm] G $. Wir definiren $ [mm] g^0=e [/mm] $ und $ [mm] g^n=g^{n-1}\circ [/mm] g $ für alle $ [mm] n\in\IN [/mm] $, also $ [mm] g^n=g\circ ...\circ [/mm] g $ , n mal.
G heißt zyklisch, wenn es ein $ [mm] g\in [/mm] G $ gibt, so dass für alle $ [mm] x\in [/mm] G $ gilt: $ [mm] x=g^n [/mm] $ für ein $ [mm] n\in\IN_0 [/mm] $.
2. Beweisen Sie, dass $ [mm] S_3 [/mm] $ nicht zyklisch ist.> Tach nochmal angela!
> Beachte bitte das wir Ersties sind und der Kurs LinAlg
> heißt. Denke das wir später, vielleicht auch erst nach/in
> der Algebra Vorlesung; deinen Hinweis nachvollziehen
> können.
>
> Kannst du deshalb nochmal über den Ansatz spähen :o) und
> Anmerkungen genau dazu machen??
>
> Ordnung und zyklische Gruppe nicht eingeführt.
Hallo,
na, das mit dem Erstsemester ist ein Hinweis...
Aber die zyklische Gruppe ist eingeführt. Auf dem Aufgabenblatt. Und was auf dem Aufgabenblatt steht, ist eingeführt.
"G heißt zyklisch, wenn es ein $ [mm] g\in [/mm] G $ gibt, so dass für alle $ [mm] x\in [/mm] G $ gilt: $ [mm] x=g^n [/mm] $ für ein $ [mm] n\in\IN_0 [/mm] $."
Ich will diesen Sachverhlt nocheinmal in Worten erklären, obgleich Du ihn wohl schon verstanden hast:
In einer zyklischen Gruppe findet man ein Element g mit einer ganz besonderen Eigenschaft: aus diesem Element kann man durch wiederholte Hintereinanderausführung jedes andere Element der Gruppe erzeugen.
Nun, dafür kommen nur 6 Elemente infrage. Mehr gibt's ja nicht in [mm] S_3. [/mm] (Zum Glück!)
Die kann man nun für den "Zyklus-Test" nacheinander durchprobieren, ob man solch ein Element mit dieser ausgezeichneten Eigenschaft findet.
id: [mm] id^n=id [/mm] für alle n. Also ist id nicht das gesuchte Element.
[mm] d_1: d^2= d_2 d_1^3=id [/mm] (Anmerkung: also hat [mm] d_1 [/mm] die Ordnung 3), [mm] d-1^4=d_1, [/mm] ...
[mm] d_2: [/mm] entsprechend
[mm] s_1: s_1^2=id (s_1 [/mm] hat Ordnung 2) , [mm] s_1^3=s_1 [/mm] ...
[mm] s_2 [/mm] und [mm] s_3: [/mm] entsprechend.
Also gibt es kein Element in [mm] S_3, [/mm] welches [mm] S_3 [/mm] erzeugt.
Ich glaube, dieser Gedanke steckt auch hinter Deiner Beweisskizze,
und genau das war es, was ich sagen wollte.
Gruß v. Angela
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