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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:15 Sa 17.03.2007 | | Autor: | ONeil |
| Aufgabe | Kann eine gebrochen-rationale Funktion kompliziertere Symmetrien aufweisen? Untersuche folgende Funktion:
[mm]f(x)=\bruch{2x^2-x}{x(x-1)}[/mm] [mm]mit D_f=D_f(x)[/mm] |
Ich hab die Funktion erstmal vereinfacht zu: [mm] ~f(x)=\bruch{2x-1}{x-1}~
[/mm]
und dann die 2.te Ableitung gebildet: [mm] ~f''(x)=\bruch{2x-2}{(x-1)^4}~
[/mm]
Durch Nullsetzen kommt man auf den Wendepunkt bei [mm] ~x_0=1~
[/mm]
Aber der liegt außerhalb des Definitionsbereichs auf einer senkrechten Asymptote.
Und zum Nachweis der Punktsymmertie zu einem algemeinen Punkt P, braucht man ja den Wert [mm] ~y_0~, [/mm] um mit der [mm] Formel:~f(x_0-x)+f(x_0+x)=2y_0~ [/mm] die Symmetrie nachweisen zu können.
Edit: Ich hab jetzt einfach mal auf gut Glück die Formel angewendet und siehe da:
Als Lösung kommt der Punkt (1/1,5) raus, was stimmen könnte, wenn man den Graphen anschaut.
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Kann eine gebrochen-rationale Funktion kompliziertere
> Symmetrien aufweisen? Untersuche folgende Funktion:
> [mm]f(x)=\bruch{2x^2-x}{x(x-1)}[/mm] [mm]mit D_f=D_f(x)[/mm]
> Ich hab die
> Funktion erstmal vereinfacht zu: [mm]~f(x)=\bruch{2x-1}{x-1}~[/mm]
> und dann die 2.te Ableitung gebildet:
> [mm]~f''(x)=\bruch{2x-2}{(x-1)^4}~[/mm]
Hallo,
[mm] f''(x)=\bruch{2x-2}{(x-1)^4}=\bruch{2}{(x-1)^3} [/mm] für [mm] x\not=1.
[/mm]
>
> Durch Nullsetzen kommt man auf den Wendepunkt bei [mm]~x_0=1~[/mm]
> Aber der liegt außerhalb des Definitionsbereichs auf einer
> senkrechten Asymptote.
Also gibt es keinen Wendepunkt, denn was sollte ein Wendepunkt außerhalb des Definitionsbereiches sein?
> Und zum Nachweis der Punktsymmertie zu einem algemeinen
> Punkt P, braucht man ja den Wert [mm]~y_0~,[/mm] um mit der
> [mm]Formel:~f(x_0-x)+f(x_0+x)=2y_0~[/mm] die Symmetrie nachweisen zu
> können.
>
> Edit: Ich hab jetzt einfach mal auf gut Glück die Formel
> angewendet und siehe da:
> Als Lösung kommt der Punkt (1/1,5) raus, was stimmen
> könnte, wenn man den Graphen anschaut.
Ich weiß jetzt ja nicht, was Du "auf gut Glück" getan hast.
Wenn aber der Graph wirklich punktsymmetrisch ist zu (1/1,5),
muß für alle x [mm] \in \ID [/mm] gelten:
f(1-x)+f(1+x)=2*1,5=3.
Gilt es?
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:29 Sa 17.03.2007 | | Autor: | ONeil |
Danke für den Tipp, denn mein einstetzen auf gut Glück war falsch.
Hab das ganze jetzt nochmal für [mm] ~x_0=1~ [/mm] nachgerechnet und für [mm] ~y_0=2~ [/mm] erhalten. Das passt auch exakt in den Graphen.
Edit: Das mit der 2.Ableitung war unnötig.
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