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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:16 Di 20.11.2007 | | Autor: | Mach17 |
| Aufgabe | | Beweise, dass f(x) = [mm] \bruch{4*e^x}{(e^x+1)^2} [/mm] symmetrisch zur y-Achse ist. |
Nabend!
Ich sitz schon ne weile an der Aufgabe und schaff die einfach nicht.
Bewiesen ist es ja, wenn f(-x) = f(x) ist.
Aber das bekomm ich einfach nicht raus, hab schon die ganze Zeit versucht f(-x) umzuformen so das es halt passt, aber es kommt nie f(x) bei raus :-(
Danke im voraus für jede Hilfe!
mfg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:40 Di 20.11.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Beweise, dass f(x) = [mm]\bruch{4*e^x}{(e^x+1)^2}[/mm] symmetrisch
> zur y-Achse ist.
> Nabend!
> Ich sitz schon ne weile an der Aufgabe und schaff die
> einfach nicht.
> Bewiesen ist es ja, wenn f(-x) = f(x) ist.
>
> Aber das bekomm ich einfach nicht raus, hab schon die ganze
> Zeit versucht f(-x) umzuformen so das es halt passt, aber
> es kommt nie f(x) bei raus :-(
Was hast du denn schon gemacht?
>
> Danke im voraus für jede Hilfe!
>
> mfg
[mm] \bruch{4*e^{-x}}{(e^{-x}+1)^2}
[/mm]
[mm] =\bruch{4}{e^{x}(e^{-x}+1)^2}
[/mm]
[mm] =\bruch{4}{e^{x}((e^{-x})²+2e^{-x}+1)}
[/mm]
[mm] =\bruch{4}{e^{x}*(e^{-x})²+e^{x}*2e^{-x}+e^{x}*1}
[/mm]
[mm] =\bruch{4}{e^{x}*e^{-x}*e^{-x}+2e^{x}*e^{-x}+e^{x}*1}
[/mm]
[mm] =\bruch{4}{e^{x-x-x}+2e^{x-x}+e^{x}}
[/mm]
[mm] =\bruch{4}{e^{-x}+2e^{0}+e^{x}}
[/mm]
[mm] =\bruch{4}{\underbrace{e^{-x}*e^{x}}_{=1}(e^{-x}+2e^{0}+e^{x})}
[/mm]
[mm] =\bruch{4e^{x}}{e^{x}e^{-x}+2e^{0}*e^{x}+e^{x}*e^{x}}
[/mm]
Jetzt steht das Ergebnis fast schon da.
Marius
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Hallo Mach, hallo Marius,
es geht glaube ich noch schneller 
Erweitere [mm] $\frac{4e^{-x}}{(e^{-x}+1)^2}$ [/mm] mit [mm] $e^{2x}=\left(e^x\right)^2$
[/mm]
Dann steht da [mm] $f(-x)=\frac{4e^{-x}\cdot{}\red{e^{2x}}}{\red{e^{2x}}\cdot{}(e^{-x}+1)^2}=\frac{4e^{x}}{\left(e^x\right)^2\cdot{}(e^{-x}+1)^2}=\frac{4e^{x}}{\left[e^x\cdot{}(e^{-x}+1)\right]^2}=\frac{4e^{x}}{(1+e^x)^2}=f(x)$
[/mm]
LG
schachuzipus
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