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(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:59 Fr 16.11.2012 | | Autor: | MrPan |
| Aufgabe | Zeigen Sie:
1) Die elemente der Gruppe [mm] A_4 [/mm] bilden eine Teilmenge von [mm] S_4.
[/mm]
2) Die Gruppeneigenschaften von [mm] A_4. [/mm] Gibt es auch Untergruppen von [mm] A_4? [/mm] Falls ja, nennen sie eine und weisen sie die Gruppeneigenschaften nach. |
Servus,
ich bitte mal wieder um eure Hilfe.
Als Ansatz hab ich nicht viel
zu 1) Mir fällt nur ein alle Elemente von [mm] A_4(12 [/mm] Stück) aufzuschreiben und alle Elemente von [mm] S_4(24 [/mm] Stück). Gibt es einem mathematischen Weg?
2) Muss ich hier streng nach Defintion gehen? Die id dürft ja enthalten sein, was ja das neutrale Element ist, Assoziativiät müsste auch stimmen da gilt
Sei x,y, z [mm] \in A_4 (x\circ [/mm] y) [mm] \circ [/mm] z = z [mm] \circ [/mm] (x [mm] \circ [/mm] y)
aber wie weise ich das weiter nach? Beim Inversen Element bin ich mir jetzt auch nicht sicher dass, das für jedes Element vorhanden ist in [mm] A_4 [/mm] vorhanden ist.
Die Untergruppen könnte z. B. [mm] S_2 [/mm] sein, für den Nachweis stehe ich wieder auf dem Schlauch.
Ich bedanke mich für eure Mühe mir zu helfen
lg mike
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:11 Fr 16.11.2012 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Kennt ihr schon Sachen wie Gruppenhomomorphismen und Kerne? Dann ist [mm] A_4 [/mm] nämlich der Kern vom Homomorphismus [mm] $\text{sgn}: S_4 \rightarrow \{-1,1\}$ [/mm] (Signumsfunktion) und damit schon direkt eine Untergruppe von [mm] S_4.
[/mm]
Ansonsten:
1.) Wie habt ihr denn [mm] A_4 [/mm] definiert? Wenn es sowas ist wie " [mm] A_4 [/mm] sind alle Permutationen in [mm] S_4 [/mm] mit [irgendeiner Eigenschaft]", dann ist ja schon klar, dass [mm] A_4 \subseteq S_4 [/mm] gelten muss. Denn jedes [mm] \tau \in A_4 [/mm] ist ja auch immer noch eine Permutation, also in [mm] S_4.
[/mm]
2.) Ja, hier muss du ein paar Sachen zeigen. Assoziativität kannst du machen, musst du aber nicht. Wenn alle Elemente aus [mm] A_4 [/mm] liegen ja auch in [mm] S_4 [/mm] (wie in 1.) gezeigt wurde), daher ist [mm] \circ [/mm] mit diesen Elemente auch assoziativ. id liegt warum in [mm] A_4? [/mm] Dann musst du noch z.B. die Abgeschlossenheit zeigen und dass inverse Elemente drinnen liegen. Dazu musst du aber im Prinzip auch mit der Signumsfunktion argumentieren. Hattet ihr die schon?
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(Frage) überfällig | | Datum: | 17:26 Fr 16.11.2012 | | Autor: | MrPan |
> Hi!
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> Kennt ihr schon Sachen wie Gruppenhomomorphismen und Kerne?
> Dann ist [mm]A_4[/mm] nämlich der Kern vom Homomorphismus
> [mm]\text{sgn}: S_4 \rightarrow \{-1,1\}[/mm] (Signumsfunktion) und
> damit schon direkt eine Untergruppe von [mm]S_4.[/mm]
>
Merci Teufel!
Nein, tut mir leid das sagt mir nichts, folgt das "direkt eine Untergruppe" aus dem Hormorphismus? Ich werde es mir mal anschauen.
> Ansonsten:
> 1.) Wie habt ihr denn [mm]A_4[/mm] definiert? Wenn es sowas ist wie
> " [mm]A_4[/mm] sind alle Permutationen in [mm]S_4[/mm] mit [irgendeiner
> Eigenschaft]",
Die Menge aller Rotationssymetiren des Tetraeders, und die Übung ist eben nachzuweisen das es auch eine Gruppe ist.
dann ist ja schon klar, dass [mm]A_4 \subseteq S_4[/mm]
> gelten muss. Denn jedes [mm]\tau \in A_4[/mm] ist ja auch immer noch
> eine Permutation, also in [mm]S_4.[/mm]
>
Es ist mir schon klar das es stimmen muss nur ich habe keine Ahnung wie ich das für eine Mathematiker anständig ausdrücken kann.
> 2.) Ja, hier muss du ein paar Sachen zeigen.
> Assoziativität kannst du machen, musst du aber nicht. Wenn
> alle Elemente aus [mm]A_4[/mm] liegen ja auch in [mm]S_4[/mm] (wie in 1.)
> gezeigt wurde), daher ist [mm]\circ[/mm] mit diesen Elemente auch
> assoziativ. id liegt warum in [mm]A_4?[/mm] Dann musst du noch z.B.
> die Abgeschlossenheit zeigen und dass inverse Elemente
> drinnen liegen. Dazu musst du aber im Prinzip auch mit der
> Signumsfunktion argumentieren. Hattet ihr die schon?
>
Singumfunktion ja, aber nicht das man damit das zeigen kann.
Zur Inverse vllt: [mm] \gamme \delta \in A_4: \gamma \circ \delta \in A_4
[/mm]
für die Permutationen gilt ja das [mm] p_1(p_n(x))=x [/mm] Aber es sieht für mich nicht wie ein Beweis aus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:57 Fr 16.11.2012 | | Autor: | Teufel |
Ja also ein Gruppenhomomorphismus ist ja eine Abbildung [mm] $\varphi: [/mm] G [mm] \rightarrow [/mm] H$ für die [mm] $\varphi(ab)=\varphi(a)\varphi(b) \forall [/mm] a,b [mm] \in [/mm] G$ wobei G und H Gruppen sind.
Der Kern von [mm] \varphi [/mm] sind alle Elemente aus G, die auf das neutrale Element in H geworfen werden. Nun kann man zeigen, dass der Kern immer eine Untergruppe in G ist. Und nun kann man [mm] A_n [/mm] immer als Kern der Signumsabbildung definieren. Insbesondere also auch für n=4.
Ok, zurück zu deiner Aufgabe:
Dass [mm] A_4 [/mm] eine Teilmenge von [mm] S_4 [/mm] ist, ist klar, oder? Die [mm] S_4 [/mm] kann man sich ja, wenn man die Tetraederdarstellung mag, vorstellen als Umnummerierung der Ecken des Tetraeders. Hat es also die Ecken 1, 2, 3 und 4, und wendet man ein Element der [mm] S_4 [/mm] darauf an, dann werden die Ecken wild durcheinander gewirbelt. Natürlich sind nicht alle Permutationen "sinnvoll", weil manche (genau die Hälfte) der Permutationen nicht durch Drehungen erreicht werden können. Ok, aber deine [mm] A_4 [/mm] besteht aus der vernünftigen Drehungen, die man auf das Tetraeder anwenden kann. Aber diese Drehungen sind eben auch nur Permutationen der Ecken, also ist schon mal [mm] A_4 \subseteq S_4.
[/mm]
Darfst du benutzen, dass [mm] S_4 [/mm] eine Gruppe ist? Denn dann musst du z.B. die Assoziativität nicht mehr zeigen, wie schon erwähnt. Die Identität ist natürlich in [mm] A_4. [/mm] Das ist genau eine Drehung um 0°, man macht also nichts.
Nun weiß ich nicht, wie genau ihr das machen sollt. Jede Drehung des Tetraeders kann man natürlich rückgängig machen, indem man eben einfach zurückdreht. :) Ansonsten kannst du zu jedem Element das Inverse angeben. Bei 12 geht das vielleicht noch.
Dann fehlt noch die Abgeschlossenheit. Anschaulich ist es auch relativ klar. Ansonsten muss man wohl auch etwas rumrechnen.
Aber, ich muss gleich weg, daher habe ich gerade kein Zeit mehr das weiter auszuführen. Aber vielleicht hilft dir ja das schon mal etwas. Komme später wieder.
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:23 Sa 17.11.2012 | | Autor: | MrPan |
> Ja also ein Gruppenhomomorphismus ist ja eine Abbildung
> [mm]\varphi: G \rightarrow H[/mm] für die
> [mm]\varphi(ab)=\varphi(a)\varphi(b) \forall a,b \in G[/mm] wobei G
> und H Gruppen sind.
>
> Der Kern von [mm]\varphi[/mm] sind alle Elemente aus G, die auf das
> neutrale Element in H geworfen werden. Nun kann man zeigen,
> dass der Kern immer eine Untergruppe in G ist. Und nun kann
> man [mm]A_n[/mm] immer als Kern der Signumsabbildung definieren.
> Insbesondere also auch für n=4.
>
> Ok, zurück zu deiner Aufgabe:
> Dass [mm]A_4[/mm] eine Teilmenge von [mm]S_4[/mm] ist, ist klar, oder? Die
> [mm]S_4[/mm] kann man sich ja, wenn man die Tetraederdarstellung
> mag, vorstellen als Umnummerierung der Ecken des
> Tetraeders. Hat es also die Ecken 1, 2, 3 und 4, und wendet
> man ein Element der [mm]S_4[/mm] darauf an, dann werden die Ecken
> wild durcheinander gewirbelt. Natürlich sind nicht alle
> Permutationen "sinnvoll", weil manche (genau die Hälfte)
> der Permutationen nicht durch Drehungen erreicht werden
> können. Ok, aber deine [mm]A_4[/mm] besteht aus der vernünftigen
> Drehungen, die man auf das Tetraeder anwenden kann. Aber
> diese Drehungen sind eben auch nur Permutationen der Ecken,
> also ist schon mal [mm]A_4 \subseteq S_4.[/mm]
d. h. ich kann es einfach so angeben: da [mm] S_4 [/mm] alle Permuationen von n=4 enhält, ist [mm] A_4 [/mm] Teilmenge, die nur bestimmte Permutationen (um eine Achse und einen Winkel) von [mm] S_4 [/mm] enhält. Geht das?
>
> Darfst du benutzen, dass [mm]S_4[/mm] eine Gruppe ist?
Ja wurde als [mm] (S_4., \circ, id,f\mapsto f^{-1} [/mm] definiert
Denn dann
> musst du z.B. die Assoziativität nicht mehr zeigen, wie
> schon erwähnt. Die Identität ist natürlich in [mm]A_4.[/mm] Das
> ist genau eine Drehung um 0°, man macht also nichts.
>
> Nun weiß ich nicht, wie genau ihr das machen sollt. Jede
> Drehung des Tetraeders kann man natürlich rückgängig
> machen, indem man eben einfach zurückdreht. :) Ansonsten
> kannst du zu jedem Element das Inverse angeben. Bei 12 geht
> das vielleicht noch.
> Dann fehlt noch die Abgeschlossenheit. Anschaulich ist es
> auch relativ klar. Ansonsten muss man wohl auch etwas
> rumrechnen.
also Neutrales Element ist ja zu jedem die id oder? Inverses element müsste ja z.B [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 & 4\\ 2 & 3 & 4 & 1 } ß\circ \pmat{ 1 & 2 & 3 & 4\\ 4 & 1 & 2 & 3 } [/mm] = id wie kann ichs aber nachweißen, mir fällt irgendwie keine allgemeine Form ein. Für die Abgeschlossenheit bin ich leider auch ratlos, es ist mir klar das zwei Elemente von [mm] A_4 [/mm] miteinander Verknüpft auch in [mm] A_4 [/mm] liegen nur kann ich das nich formal beweisen. Hättest du vllt einen Link zu einem Beispiel?
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> Aber, ich muss gleich weg, daher habe ich gerade kein Zeit
> mehr das weiter auszuführen. Aber vielleicht hilft dir ja
> das schon mal etwas. Komme später wieder.
Vielen Dank für deine Mühe, Teufel!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:54 Sa 17.11.2012 | | Autor: | Teufel |
Also ich weiß auch nicht, wie man das nur dem dem Wissen effizient lösen könnte. Von daher würde ich wohl "einfach" eine Verknüpfungstafel machen. Also wirklich eine [mm] $12\times12$-Tabelle.
[/mm]
Für ein wenig Inspiration, schau mal ![[]](/images/popup.gif) hier!
Solch eine Tabelle würde hier sogar ausreichen, denn es gelten ein paar schöne Sachen. Habt ihr schon mal folgendes gezeigt oder zumindest erwähnt:
Wenn in jeder Zeile und jeder Spalte der Verknüpfungstafel jedes Element genau einmal vorkommt, dann bilden die Element mit der Verknüpfung schon eine Gruppe. Zumindest, wenn auch noch die Assoziatitvität gilt und wenn es ein neutrales Element gibt. Aber die letzten beiden Sachen hast du ja schon, id ist das neutrale Element und Assoziativ ist die Verknüpfung auch, weil sie es schon in [mm] S_4 [/mm] ist (da [mm] S_4 [/mm] Gruppe).
Also mach einfach mal die Tafel und schaue, ob in jeder Zeile und jeder Spalte alles genau einmal vorkommt. Du kannst damit auch dann schnell begründen, warum es immer inverse Elemente gibt und warum Verknüpfungen von Elementen aus der [mm] A_4 [/mm] auch immer wieder in der [mm] A_4 [/mm] liegen.
Ich hoffe, dass das hilft. :) Es kann natürlich sein, dass man das auch schneller oder schöner lösen kann. Ich lasse die Frage deshalb mal halb offen, vielleicht findest sich ja noch jemand mit einer besseren Idee.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:58 Sa 17.11.2012 | | Autor: | MrPan |
Vielen Dank!
Dann mach ich einfach eine Tabelle^^Im Skript steht auch nur etwas von Automorphismus, wie hätte dein deine Lösung ausgesehen? Kern hatten wir noch nicht.
Was wäre eine Untergruppe von [mm] A_4? [/mm] {id,a}? a ist irgendeine Drehung
lg Mike
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:29 Sa 17.11.2012 | | Autor: | Teufel |
Hm, also ohne Kern geht es nicht so einfach. Kennt man den Kern und seine Eigenschaften, wäre der Beweis, wie in meinem 1.Post geschrieben. [mm] $\text{sig}: S_n \rightarrow \{1,-1\} [/mm] ist ein Homomorphismus und [mm] ker(\text{sgn})=A_n [/mm] für alle n, daher ist [mm] A_n [/mm] eine Untergruppe von [mm] S_n. [/mm] So einfach wäre es. :) Vielleicht kannst du auch zeigen, dass der Kern immer eine Untergruppe ist. Dann könntest du dir auch die Tabelle sparen. Aber ich weiß nicht, in wie weit das von euch erwartet/verlangt wird. Und wenn ihr die [mm] A_4 [/mm] so anschaulich definiert habt, sollt ihr das vielleicht auch damit machen, aber ich weiß es nicht.
Ein anderes Beispiel für diese Kern-Sachen wäre folgendes:
Schau dir die Abbildung [mm] $\varphi: (\IZ,+) \rightarrow (\IZ_n,+), [/mm] a [mm] \mapsto r_n(a)$ [/mm] an, wobei [mm] r_n(a) [/mm] der Rest von a ist, wenn man es durch n teilt (z.B. [mm] r_3(14)=2, [/mm] weil 14=4*3+2). Das ist ein Gruppenhomomorphismus, wie man nachrechnen kann. Der Kern von dem Ding ist [mm] n\IZ=\{na|a\in \IZ\}. [/mm] Damit würdest du erhalten, dass [mm] $(n\IZ,+)$ [/mm] eine Untergruppe von [mm] $(\IZ,+)$ [/mm] ist. Das kann man natürlich auch so nachrechnen. Aber ich wollte nur mal ein anschaulicheres Beispiel bringen. Wenn es dich mehr verwirrt hat als vorher, dann vergiss das am besten schnell wieder. :)
Und ja, [mm] \{\text{id}, a\} [/mm] ist eine Untergruppe, wobei es darauf ankommt, welche Drehung du meinst. Wenn deine Symmetrieachse durch eine Ecke des Tetraders und durch den Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite geht, dann musst du 4mal drehen um wieder am Anfang rauszukommen. In dem Bild auf der Wikipediaseite wäre das z.B. [mm] d_4.
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:44 Sa 17.11.2012 | | Autor: | MrPan |
Vielen Dank für deine Antwort
> Hm, also ohne Kern geht es nicht so einfach. Kennt man den
> Kern und seine Eigenschaften, wäre der Beweis, wie in
> meinem 1.Post geschrieben. [mm]$\text{sig}: S_n \rightarrow \{1,-1\}[/mm]
> ist ein Homomorphismus und [mm]ker(\text{sgn})=A_n[/mm] für alle n,
> daher ist [mm]A_n[/mm] eine Untergruppe von [mm]S_n.[/mm] So einfach wäre
Ich taste mich langsam ran ich hab jetzt erstmal, sgn lass ich mal außen vor:
Teilemenge: Da [mm] S_4 [/mm] alle Elemente Permutationen für n=4 enthält (24 Stück) und und [mm] A_4 [/mm] ebenfalls nur Permuatione für n=4 (12 Stück) ist [mm] A_4 \subset S_4
[/mm]
Inveres Element a [mm] \circ a^{-1} \in A_4
[/mm]
Es gilt [mm] a^{-1}=a [/mm] da a [mm] \circ a^{-1} [/mm] = a = id
Jezt bin ich mir nicht ganz sicher
Sei [mm] f:S_4 \mapsto A_4
[/mm]
kern(f) := {s [mm] \in S_4| [/mm] f(s)=id }
da gilt a [mm] \circ a^{-1}=id
[/mm]
und [mm] A_4 \subset S_4
[/mm]
ist kern(f) = [mm] A_4
[/mm]
Da ein Gruppenhomomorphismu existiert, ist [mm] A_4 [/mm] Untergruppe von [mm] S_4
[/mm]
lg Mike
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:38 Sa 17.11.2012 | | Autor: | Teufel |
Hm nein, das mit dem Beweis mittels Homomorphismus klappt leider so nicht. Mach es am besten doch einfach mit Tabelle, dann braucht man die ganze weitere Theorie nicht.
Außerdem müsstest du auch noch angeben, was dein f mit einem Element aus [mm] A_4 [/mm] machen soll, damit du den Kern überhaupt bestimmen kannst.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 So 18.11.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:20 So 18.11.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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