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Symmetrie als Äquivalenzrel.?: Aufgabe 1
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:54 Fr 03.07.2015
Autor: MietzeK

Aufgabe
Prüfen Sie ob die Symmetrie eine Äquivalenzrelation ist!

Hallo! Ich finde für die Frage leider keine Ansatzpunkte...
Ich betrachte die Symmetrie hier als Relation und nicht als Eigenschaft!

Meine Überlegungen:
Eine Äquivalenzrelation liegt vor wenn die Relation symmetrisch, reflexiv und transitiv ist.
symmetrisch: Voraussetzung: F1 (Figur 1) ist symmetrisch zu F1
                       Behauptung: F1 ist symmetrisch zu F1
                             Beweis: (z.B. bei einer Punktspiegellung als Abbildung  
                                         liegt Symmetrie vor aber wie beweise ich das?
                                         die Abbildung darf ja nicht identisch sein)
reflexiv: Voraussetzung: F1 ist symmetrisch zu F2
                Behauptung: F2 ist symmetrisch zu F1
                      Beweis: Wenn F1 zu F2 symmetrisch ist, muss es eine
                                  Bewegung t geben, die F1 auf F2 abbildet
                                  t ist eine Bijektion, weswegen es eine Umkehr-
                                  abbildung t hoch -1 gibt die F2 auf F1 abbildet.
                                  -> reflexiv
transitiv: Voraussetzung: F1 ist symmetrisch zu F2
                                   F2 ist symmetrisch zu F3
                 Behauptung: F1 ist symmetrisch zu F3
                       Beweis: F1 ist symmetrisch zu F2
                                   d.h. es gibt eine Bewegung t1, die F1 in F2
                                   überführt
                                   F2 ist symmetrisch zu F3
                                   d.h. es gibt eine Bewegung t2, die F2 in F3
                                   überführt
                                  -> die Nacheinanderausführung t2 [mm] \circ [/mm] t1
                                   führt dann zur Transitivität
                                  (Ich habe hier vor allem an eine Drehrotation
                                   gedacht?)

Sind die Überlegungen richtig?
Danke!




        
Bezug
Symmetrie als Äquivalenzrel.?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:48 Fr 03.07.2015
Autor: chrisno


> Prüfen Sie ob die Symmetrie eine Äquivalenzrelation ist!

Da wäre es nun gut, wenn Du die Definition der Symmetrie angeben würdest.

>  Hallo! Ich finde für die Frage leider keine
> Ansatzpunkte...
>  Ich betrachte die Symmetrie hier als Relation und nicht
> als Eigenschaft!
>  
> Meine Überlegungen:
>  Eine Äquivalenzrelation liegt vor wenn die Relation
> symmetrisch, reflexiv und transitiv ist.

Genau

>  symmetrisch: Voraussetzung: F1 (Figur 1) ist symmetrisch
> zu F1

Das liest sich so, als wolltest Du nicht
die Eigenschaft symmetrisch, sondern reflexiv (auf sich selbst zurück) prüfen.

>                         Behauptung: F1 ist symmetrisch zu F1
>                               Beweis: (z.B. bei einer
> Punktspiegellung als Abbildung  
> liegt Symmetrie vor aber wie beweise ich das?
>                                           die Abbildung
> darf ja nicht identisch sein)

Das ist der Kern des Problems. Noch einmal: wie ist Symmetrie definiert? Weiter unten schreibst Du von Bewegungen, Ist die Identität ausgeschlossen? Das wäre merkwürdig, aber dann wärest Du fertig: nicht reflexiv, also keine Äquivalenzrelation.

>  reflexiv: Voraussetzung: F1 ist symmetrisch zu F2

Du meinst wohl symmetrisch (s.o.)

>  Behauptung: F2 ist symmetrisch zu F1
>  Beweis: Wenn F1 zu F2 symmetrisch ist, muss es eine
>          Bewegung t geben, die F1 auf F2 abbildet
>          t ist eine Bijektion, weswegen es eine Umkehr-
>          abbildung [mm] $t^{-1}$ [/mm] gibt die F2 auf F1 abbildet.
>          -> reflexiv

[ok]

>  transitiv: Voraussetzung: F1 ist symmetrisch zu F2
>                            F2 ist symmetrisch zu F3
>  Behauptung: F1 ist symmetrisch zu F3
>      Beweis: F1 ist symmetrisch zu F2 d.h. es gibt eine
>              Bewegung t1, die F1 in F2 überführt
>              F2 ist symmetrisch zu F3  d.h. es gibt eine
>              Bewegung t2, die F2 in F3 überführt
>              -> die Nacheinanderausführung t2 [mm]\circ[/mm] t1

>              führt dann zur Transitivität
> (Ich habe hier vor allem an eine Drehrotation gedacht?)

Habt ihr einen Satz, dass die Hintereinanderausführung zweier Bewegungen wieder eine Bewegung ist? Wenn ja, dann musst Du den hier anbringen, wenn nein, dann musst Du ihn beweisen.

Bezug
                
Bezug
Symmetrie als Äquivalenzrel.?: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 20:00 Mo 06.07.2015
Autor: MietzeK

Danke chrisno für deine Hilfe!

[i] Da wäre es nun gut, wenn Du die Definition der Symmetrie angeben würdest.
[i]

Symmetrie lässt sich ja einmal als Eigenschaft und einmal als Relation definieren...hier ist dann aber die Relation gemeint oder?
Figuren sind symmetrisch, wenn es eine nicht identische Bewegung gibt, die die Figur auf eine andere abbildet.

Stimmt, ich wollte als erstes die Reflexivität prüfen...
eine Abbildung auf die die Reflexivität zutrifft, die nicht die identische Abbildung ist, wäre zum Beispiel die Nullverschiebung oder die Drehung um 360 Grad.

[i] Das ist der Kern des Problems. Noch einmal: wie ist Symmetrie definiert? Weiter unten schreibst Du von Bewegungen, Ist die Identität ausgeschlossen? Das wäre merkwürdig, aber dann wärest Du fertig: nicht reflexiv, also keine Äquivalenzrelation. [i]

Symmetrie ist doch auf jeden Fall reflexiv oder? Durch eben die genannte Drehung um 360 bei allen Figuren. Oder zählt das zur identischen Abbildung?

[Beim Kongruenzbeweis haben wir z.B. nur geschrieben: Jede Bewegung ist zu sich selbst kongruent, weil es stets eine Bewegung gibt, die sie auf sich selbst abbildet] -> Das würde dann analog für die Symmetrie auch funktionieren oder?

[i]
Habt ihr einen Satz, dass die Hintereinanderausführung zweier Bewegungen wieder eine Bewegung ist? Wenn ja, dann musst Du den hier anbringen, wenn nein, dann musst Du ihn beweisen. [i] Ja, haben wir! "Die Nacheinanderausführung einer Verschiebung ist wieder eine Verschiebung...."



Bezug
                        
Bezug
Symmetrie als Äquivalenzrel.?: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:41 Mo 06.07.2015
Autor: chrisno

Tut mir leid, aber erst einmal steige ich aus dieser Diskussion aus.
Ich komme mit den Begriffen so nicht klar.
Ich kenne Symmetrie als Eigenschaft eines Objektes, beispielsweise wenn es eine Symmetrieachse hat.
Daher habe ich Probleme mit der Begrifflichkeit "Ein Objekt ist symmetrisch zu einem anderen."
Da würde ich den Begriff Kongruenz verwenden.
Nun soll untersucht werden, ob Symmetrie eine Äquivalenzrelation ist. Dann muss Symmetrie eine Relation sein, also zwei Objekte verknüpfen. Dazu passt auch

> Figuren sind symmetrisch, wenn es eine nicht identische Bewegung gibt, die die Figur auf eine andere abbildet.

Was ist nun der Unterschied zur Kongruenz?
Auch sehe ich nicht, warum die identische Bewegung ausgeschlossen werden muss. (Das kann durchaus an meinem Nichtwissen liegen.)

> Durch eben die genannte Drehung um 360 bei allen Figuren. Oder zählt das zur identischen Abbildung?

Genau diese Frage stelle ich auch. Für mich ist das die identische Abbildung. Wenn die ausgeschlossen ist, ist die Reflexivität nicht gegeben.

> Jede Bewegung ist zu sich selbst kongruent, weil es stets eine Bewegung gibt, die sie auf sich selbst abbildet

Ich kenne kongruente Objekte, aber nun wird eine Bewegung auf sich selbst abgebildet. Für mich ist die Bewegung eine Abbildung und Objekte sind kongruent, wenn es eine Bewegung gibt, die das eine auf das andere abbildet.

> Die Nacheinanderausführung einer Verschiebung ist wieder eine Verschiebung....

Das brauchst Du aber allgemeiner, nicht nur für Verschiebungen.

Es tut mir leid, aber da ich das Begriffssystem nicht verstehe und es nicht mit den Informationen aus Wikipedia in Einklang bringen kann, muss jemand anderes hier weiter machen.

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Symmetrie als Äquivalenzrel.?: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 02:48 Di 07.07.2015
Autor: tobit09

Hallo MietzeK!


Leider kenne auch ich eure Definitionen nicht. Habt ihr ein öffentlich im Internet stehendes Skript?


Viele Grüße
Tobias

Bezug
                                
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Symmetrie als Äquivalenzrel.?: Mitteilung 1
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:00 Di 07.07.2015
Autor: MietzeK

Trotzdem vielen Dank für eure Beiträge! Leider habe wir kein öffentliches Skript und außer den Definitionen auch kein weiteren Informationen dazu.
Da letztlich alles was kongruent ist auch symmetrisch ist außer es wird direkt in der Figur gespiegelt würde ich den Beweis falls er in der Klausur dran kommt analog dem der Kongruenz machen.

Bezug
                                        
Bezug
Symmetrie als Äquivalenzrel.?: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:29 Di 07.07.2015
Autor: chrisno

Dann möchte ich meine Meinung mal etwas deutlicher formulieren. Ich sehe drei Möglichkeiten.
1. Das Problem liegt an meiner mangelnden Fähigkeit, diese Formulierungen zu verstehen. Das kann gut sein, doch wundert es mich, wenn es bei solch einfachen Dingen passiert.
2. Die Definitionen und Sätze sind in der Vorlesung so formuliert worden, wie Du sie wiedergegeben hast. Dann habe ich den Verdacht, dass es ein Lotteriespiel ist, was in der Klausur als richtig oder falsch gewertet ist.
3. In deiner Mitschrift sind die Dinge durcheinander geraten. Dann hast Du natürlich die besten Chancen, das noch einmal mit jemandem abzugleichen.

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Symmetrie als Äquivalenzrel.?: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:20 So 12.07.2015
Autor: matux

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