Symmetrie eine Matrix < Prozesse+Matrizen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Man zeige: Ist A eine symmetrische (n; n)-Matrix und B eine beliebige (n; n)-Matrix, so ist [mm] B^{T}AB [/mm] symmetrisch! |
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Hallo zusammen,
ich komme leider nicht weiter.
Folgendes habe ich bis jetzt geschafft:
Da A symmetrisch ist, ist [mm] A=A^{T} [/mm]
Also ist [mm] B^{T}AB [/mm] = [mm] B^{T}A^{T}B [/mm]
Aber was ist der nächste Ansatz ? Muss ich jetzt praktisch beweisen, dass [mm] B^{T}AB [/mm] = [mm] BA^{T}B^{T} [/mm] ?
Aber das wäre doch schon ersichtlich aus [mm] B^{T}AB [/mm] = [mm] B^{T}A^{T}B [/mm] .
Ich hoffe ihr könnt mir helfen !
Liebe Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:07 Di 23.11.2010 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Ja, also das ist wirklich nicht so schwierig, aber du solltest es vielleicht etwas sauberer aufschreiben.
Du willst zeigen:
[mm] (B^TAB)^T=B^TAB.
[/mm]
Nun ist wegen [mm] (ABC)^T=C^TB^TA^T [/mm] (vielleicht solltest du das noch zeigen, wenn ihr das nicht hattet, aber das folgt auch einfach aus [mm] (AB)^T=B^TA^T):
[/mm]
[mm] (B^TAB)^T=B^TA^T(B^T)^T=B^TA^TB=B^TAB, [/mm] wegen [mm] A=A^T.
[/mm]
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Schon erledigt, Danke sehr !
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