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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:07 Fr 23.05.2008 | | Autor: | kiri111 |
| Aufgabe | Sei $X$ eine endliche Teilmenge der Ebene [mm] $E=\IR^2$, $G:=\{f \in \mathrm{Sym}(E):f(X)=X\}$ [/mm] und [mm] $\mu:G \to \mathrm{Sym}(X)$ [/mm] der resultierende Gruppenhomomorphismus.
(a) Zeigen Sie: [mm] $\mu$ [/mm] ist genau dann injektiv, wenn $X$ auf einer Geraden liegt.
(b) Gibt es Teilmengen $X$ von $E$ mit $|X| [mm] \ge [/mm] 4$, für die [mm] \mu [/mm] surjektiv ist? |
Hallo,
ich hatte mir schon folgendes überlegt:
(a) Dort besteht doch G nur aus der Identität oder?, weil sonst wird doch keine Menge festgelassen?
Wie gehe ich weiter an die Aufgabe ran?
(b) Kann man hier die Diedergruppen verwenden? Als Hinweis steht: Sie können die Klassifikation der endlichen Untergruppen von Sym(E) benutzen.
Aber wie zeige ich das?
Bin für jeden Tipp dankbar. :)
Viele Grüße
kiri
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:11 Sa 24.05.2008 | | Autor: | kiri111 |
Hallo,
niemand? Braucht ihr noch Informationen? Also mit Sym(E) haben wir die Symmetriegruppen von E bezeichnet.... 
Viele Grüße
kiri
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 20:29 Sa 24.05.2008 | | Autor: | kiri111 |
Hi,
kann es sein, dass G nur aus der Identität besteht? Ich meine, die Bedingung ist ja f(X)=X, d.h. alle Elemente aus X sind doch Fixpunkt und sowas erfüllt doch nur die Identität oder eine Drehung um [mm] 2*\pi, [/mm] aber das ist ja gerade wieder die Identität...
Oder sehe ich das völlig falsch?
Viele liebe Grüße
kiri
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:46 So 25.05.2008 | | Autor: | kiri111 |
Es scheint eine schwierige Frage zu sein!?!?
Viele liebe Grüße
kiri
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:22 Mo 26.05.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:47 So 25.05.2008 | | Autor: | Marc |
Hallo kiri 
> Sei [mm]X[/mm] eine endliche Teilmenge der Ebene [mm]E=\IR^2[/mm], [mm]G:=\{f \in Sym(E):f(X)=X\}[/mm]
> und [mm]\mu:G \to Sym(X)[/mm] der resultierende
> Gruppenhomomorphismus.
>
> (a) Zeigen Sie: [mm]\mu[/mm] ist genau dann injektiv, wenn [mm]X[/mm] auf
> einer Geraden liegt.
Kann es sein, dass die Aufgabe anders lautet, z.B.
> Zeigen Sie: [mm]\mu[/mm] ist genau dann injektiv, wenn X nicht auf einer Geraden liegt.
oder
> Zeigen Sie: [mm]\mu[/mm] ist genau dann nicht injektiv, wenn X auf einer Geraden liegt.
Ein Gruppenhomomorphismus ist doch genau dann injektiv, wenn der Kern nur aus dem neutralen Element (hier die identische Abbildung [mm] $\mathrm{id}_E$) [/mm] besteht.
Wenn ich mir jetzt eine Punktemenge X vorstelle, die auf einer Geraden liegt, dann gilt doch auch für eine Achsenspiegelung $f$ an genau dieser Geraden: $f(X)=X$. Also ist [mm] $f\in [/mm] G$.
Der Gruppenhomomorphismus [mm] $\mu$ [/mm] müsste $f$ aber doch auf die Identität [mm] $\mathrm{id}: X\to [/mm] X$ abbilden, denn [mm] $f|_X=\mathrm{id}_X$. [/mm] Dann hätten wir [mm] $\{id_E,f\}\subset \mathrm{Kern}(\mu)$ [/mm] und damit wäre [mm] $\mu$ [/mm] nicht injektiv.
Wenn X nicht auf einer Geraden liegt, gilt [mm] $|X|\ge [/mm] 3$. Betrachten wir ein [mm] $f\in \mathrm{Sym}(E)$ [/mm] mit $f(X)=X$, d.h., f bildet X auf sich selbst ab (das bedeutet übrigens nicht zwingend, dass es sich um die Identität handelt, sondern könnte ja auch die Spiegelung einer achsensymmetrischen Figur sein).
Damit nun [mm] $\mu(f)=\mathrm{id}_X$, [/mm] sind die Punkte aus X allesamt Fixpunkte. Von den Symmetrien der Ebene mit drei Fixpunkten, die nicht auf einer Geraden liegen, dürfte es aber nicht viele geben (ich sehe nur die Identität). Falls es nur die Identität gibt, wäre [mm] $\mu$ [/mm] injektiv.
Wenn ich mich also nicht irre, müsste die Aussage in (a) falsch sein bzw. anders lauten.
Schau' doch nochmal nach.
Viele Grüße,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:32 So 25.05.2008 | | Autor: | kiri111 |
Ahhhhhh, ja natürlich... Die Aufgabe lautet "... X auf KEINER Geraden liegt" Ohh, das tut mir leid. Da habe ich bestimmt einige verwirrt. :(
Sry....
Grüße
kiri
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:43 So 25.05.2008 | | Autor: | kiri111 |
Hmmm... hast du auch eine Idee zu b)?
Viele Grüße
kiri
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:13 So 25.05.2008 | | Autor: | Marc |
Hallo kiri,
ich kann mir gerade nichts exaktes unter Sym(X) vorstellen; wie habt ihr das definiert bzw. oder lautet das vielleicht Sym(E)?
Viele Grüße,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:38 So 25.05.2008 | | Autor: | kiri111 |
Also die Aufgabe ist richtig abgeschrieben. Es lautet Sym(X).
Das Problem hatte ich auch. Aber es müssten halt die Symmetriegruppen von X sein... Auch immer was das sein soll... :(
Liebe Grüße
kiri
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