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Symmetrische Gruppe: Beweis der Gruppeneigeschaften
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:24 So 25.06.2006
Autor: alexfr

Hallo

Ich versuche mich gerade an den Beweisen der Gruppeneigeschaften der symmetrischen Gruppe, habe (meiner Ansicht nach) bereits die Abgeschlossenheit bzgl. der Komposition und die Existenz des neutralen Elements sowie der inversen Elemente gezeigt.
Ich dachte, alles läuft prima, bis ich vor dem Beweis für die Assoziativität stand. Ich bin nun total verwirrt, wie man diese Permutationsabbildung überhaupt auffassen soll, d.h. welche Argumente sie erhält, wie man das ganze notiert etc. Ich weiß, wie man die Assoziativität der Komposition an sich beweist:

$ ((h [mm] \circ [/mm] g) [mm] \circ [/mm] f) (x) = (h [mm] \circ [/mm] g) (f(x)) = h(g(f(x))) $
$ (h [mm] \circ [/mm] (g [mm] \circ [/mm] f)) (x) = h ((g [mm] \circ [/mm] f)(x)) = h(g(f(x))) $
$ [mm] \Rightarrow \left(h\circ g\right)\circ [/mm] f = [mm] h\circ\left(g\circ f\right) [/mm] $

, doch dieser Beweis setzt voraus, dass man auch die Parameter der Abbildungen notiert und da weiß ich in diesem Fall - wie gesagt - nicht weiter (D.h., was ist hier mein "x").

$ [mm] S_n [/mm] $ sei die Menge der bijektiven Abbildungen der Menge $ [mm] M_n [/mm] = [mm] \{1, 2, ..., n\} [/mm] $ auf sich selbst. Nun kann man ja sagen, dass $ f, g, h [mm] \in S_n [/mm] $ , jedoch braucht es nun noch irgendwie eine Darstellung der Folge von Elementen von $ [mm] M_n [/mm] $ , die durch f, g und h permutiert werden sollen. Wie soll das aussehen? Kann man überhaupt schreiben, dass $ f: [mm] M_n \to M_n [/mm] $ (analog für g und h), oder sind Definitions- und Wertebereich ganz anders?
...und nicht zuletzt: Bin ich überhaupt auf dem richtigen Weg für den Beweis?

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Symmetrische Gruppe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:16 Mo 26.06.2006
Autor: just-math

Hallo alexfr,

es ist doch die [mm] S_n [/mm] eine Teilmenge der Menge aller Abbildungen von [mm] \{1,\ldots n\} [/mm] nach [mm] \{1,\ldots , n\}, [/mm] richtig ? Und wenn du drei beliebige
Abbildungen f,g,h von [mm] \{1,\ldots , n\} [/mm] nach [mm] \{1,\ldots , n\} [/mm] hast, so gilt doch stets

[mm] (f\circ g)\circ h\:\: [/mm] (x) [mm] \:\: =\:\: f\circ g\:\: [/mm] (h(x))=f(g(h(x)))

= f( [mm] \: g\circ h\: (x))\:\: =\:\: f\circ (g\cirg h)\:\: [/mm] (x).

Die Assoziativität gilt also insbesondere für [mm] S_n. [/mm]

Viele Grüsse

just-math

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