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| Aufgabe | Sei A [mm] \in M_{nxn}(R). [/mm] Wir nehmen an, dass es Eigenvektoren [mm] v_1, v_2,...,v_n \in \IR^n [/mm] von A zu den
Eigenwerten [mm] \lambda_1; \lambda_2... \lambda_n \in \IR [/mm] gibt, so dass alle Eigenvektoren paarweise senkrecht zueinander
sind (bezüglich des kanonischen Skalarprodukts). Zeigen Sie: A ist symmetrisch. |
Hallo! Ich habe schon hin und her überlegt, wie man das zeigen könnte. Mit Hilfe einer 2x2 Matrix die die Eigenschaften aus der Aufgabenstellung hat, habe ich versucht eine Idee zu bekommen. Folgendes habe ich dann gesehen (aber es überzeugt mich nicht):
Man muss ja zeigen: [mm] A=A^t
[/mm]
Da es n verschiedene Eigenvektoren zu n Eigenwerten gibt, definiert man sich eine Matrix [mm] T:=(v_1, v_2, ...,v_n) [/mm] die gerade die Eigenvektoren als Spaltenvektoren hat.
Dann kann man ja die Matrix A diagonalisieren, also folgende Gleichheit aufstellen:
[mm] A=TDT^{-1} \gdw [/mm] (also D hat Diagonalgestalt)
[mm] A^t=(TDT^{-1})^t [/mm]
[mm] =T^{-1}^tD^tT^t
[/mm]
[mm] =T^{-1}^tDT^t [/mm] (weil D ja Diagonalgestalt hat)
=A
Allerdings hat das nur bei meiner kleinen 2x2 Matrix funktioniert, einen Satz habe ich nicht dazu gefunden und irgendwie denke ich, dass man das anders zeigen muss. Ich habe ja nicht die Eigenschaft benutzt, dass [mm] v_i^t*v_j=0 [/mm] für alle [mm] i\not=j [/mm] ... würde mich über eine Idee freuen!
Grüße, kulli
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Dein Ansatz ist schon der richtige. Wenn du die Eigenvektoren normierst, wird T eine orthogonale Matrix, womit du [mm] T^t=T^{-1} [/mm] hast. Und dann steht die Lösung da ...
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Ahhh, vielen Dank, die Idee hat mir noch gefehlt!
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| Aufgabe | | Sei A [mm] \in M_{nxn}(\IR). [/mm] Beweisen Sie: Wenn die Spaltenvektoren von A eine Orthogonalbasis von [mm] \IR^n [/mm] bilden (bezüglich des kanonischen Skalarprodukts), dann bilden die Zeilen von A (als Spalten betrachtet) auch eine Orthogonalbasis von [mm] \IR^n. [/mm] |
Wieso folgt aus [mm] Q^TQ=I_n [/mm] eigentlich, dass [mm] Q^T=Q^{-1} [/mm] ist? Kann es nicht sein, dass [mm] Q^T [/mm] nur die linksseitige Inverse zu Q ist? Ich habe nämlich gerade eine ähnlich Aufgabe und brauche dort die selbe Eigenschaft. (Die Aufgabe steht oben)
Bei dieser Aufgabe gilt ja auch nach Voraussetzung, dass die Spalten von A eine Orthogonalbasis bilden und demnach gilt ebenfalls:
[mm] A^TA=I_n [/mm]
Man soll ja zeigen, dass die Zeilen von A auch eine Orthogonalbasis (als Spalten betrachtet) bilden. Wenn ich also zeigen könnte, dass gilt:
[mm] AA^T=I_n [/mm]
dann hab ich die Aufgabe doch gelöst oder? Dann hätte ich nämlich gezeigt, dass gilt: [mm] s(v_i, v_i)=0 [/mm] und [mm] s(v_i, v_j)=1 [/mm] und [mm] i\not=j [/mm] (gemeint das kanonische Skalarprodukt und [mm] v_i [/mm] Zeilenvektoren von A als Spaltenvektoren betrachtet).
Aber genau dafür wäre doch die Erkenntnis [mm] A^T=A^{-1} [/mm] der Schlüssel, weil ich dann die (gültige) Gleichung [mm] A^TA=I_n [/mm] dazu umformen könnte. Liege ich falsch?
Grüße, kulli
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> Sei A [mm]\in M_{nxn}(\IR).[/mm] Beweisen Sie: Wenn die
> Spaltenvektoren von A eine Orthogonalbasis von [mm]\IR^n[/mm] bilden
> (bezüglich des kanonischen Skalarprodukts), dann bilden
> die Zeilen von A (als Spalten betrachtet) auch eine
> Orthogonalbasis von [mm]\IR^n.[/mm]
> Wieso folgt aus [mm]Q^TQ=I_n[/mm] eigentlich, dass [mm]Q^T=Q^{-1}[/mm] ist?
> Kann es nicht sein, dass [mm]Q^T[/mm] nur die linksseitige Inverse
> zu Q ist? Ich habe nämlich gerade eine ähnlich Aufgabe
> und brauche dort die selbe Eigenschaft. (Die Aufgabe steht
> oben)
>
> Bei dieser Aufgabe gilt ja auch nach Voraussetzung, dass
> die Spalten von A eine Orthogonalbasis bilden und demnach
> gilt ebenfalls:
>
> [mm]A^TA=I_n[/mm]
>
> Man soll ja zeigen, dass die Zeilen von A auch eine
> Orthogonalbasis (als Spalten betrachtet) bilden. Wenn ich
> also zeigen könnte, dass gilt:
>
> [mm]AA^T=I_n[/mm]
>
> dann hab ich die Aufgabe doch gelöst oder? Dann hätte ich
> nämlich gezeigt, dass gilt: [mm]s(v_i, v_i)=0[/mm] und [mm]s(v_i, v_j)=1[/mm]
> und [mm]i\not=j[/mm] (gemeint das kanonische Skalarprodukt und [mm]v_i[/mm]
> Zeilenvektoren von A als Spaltenvektoren betrachtet).
>
> Aber genau dafür wäre doch die Erkenntnis [mm]A^T=A^{-1}[/mm] der
> Schlüssel, weil ich dann die (gültige) Gleichung [mm]A^TA=I_n[/mm]
> dazu umformen könnte. Liege ich falsch?
Nein, du liegst richtig.
Und bei quadratischen Matrizen sind rechts- und linksseitige Inverse immer gleich. Denn wenn es sowohl eine linksseitige Inverse L als auch eine rechtsseitige Inverse R gibt, so folgt [mm] L=LI_n=L(AR)=(LA)R=I_nR=R
[/mm]
>
> Grüße, kulli
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Achja Ich erinnere mich. Vielen Dank!
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