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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:31 Sa 03.03.2012 | | Autor: | imzadi |
Hallo,liebes Forum,
ich weiß,dass eine symmetrische Matrix ,als eine normale, auf jeden Fall auf eine reele Schurform gebracht werden kann.
Aber wieso ist jede symmetrische Matrix orthogonal diagonalisierbar? Ich weiß,dass Eigenvektoren einer symm.Matrix orthogonal zueinander sind und die Eigenwerte reel, aber ich weiß nicht,wie ich zeigen kann ,dass die Eigenwektoren eine Basis bilden bzw.die Dimension des Eigenraums mit der algebraischen Vielfachheit des jeweiligen Eigenwertes übereinstimmt. Freue mich über eure Hinweise.
Ich habe diese Frage nirgendwo sonst auf anderen Internetseiten gestellt.
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moin,
Nun, das weißt du zum Beispiel aus dem ![[]](/images/popup.gif) Spektralsatz.
Es gibt dafür auch noch ein paar mehr Beweise, du hast sicher schonmal einen gesehen.
Und ich würde an deiner Stelle das Problem in zwei Teile unterteilen:
1. Zu jeder reellen symmetrischen Matrix $A$ existiert eine invertierbare Matrix $T$ so, dass [mm] $T^T*A*T$ [/mm] eine Diagonalmatrix ist.
Das kannst man sich ganz gut klar machen, indem man bedenkt, dass [mm] $T^T*A*T$ [/mm] bedeutet, dass die selben Zeilen- und Spaltenoperationen auf die Matrix $A$ angewand wurden.
Hast du eine symmetrische Matrix gegeben und machst auf den Zeilen und Spalten immer genau das selbe, so kriegst du die auf jeden Fall in Diagonalform.
Der zweite Teil, also dass man $T$ so wählen kann, dass [mm] $T^{-1} [/mm] = [mm] T^T$, [/mm] ist schon etwas komplizierter, dafür würde ich dir empfehlen in deinem Skript mal nach einem Beweis zu suchen, zum Beispiel unter "Spektralsatz" oder allgemeiner vielleicht bei quadratischen Formen.
lg
Schadow
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:26 Sa 03.03.2012 | | Autor: | imzadi |
Danke schön,werde mir darüber Gedanken machen, das sitzt noch nicht so richtig.
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