Symmetrische Zufallsvariablen < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:29 Mo 21.10.2013 | | Autor: | custos |
Wenn bei einer Zufallsvariable X [mm]f(t)=f(-t)[/mm] für alle [mm]t[/mm] gilt, haben [mm]X[/mm] und [mm]-X[/mm] dann zwingend die gleiche Verteilung? Wenn ja, wie kann man das herleiten?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Wenn bei einer Zufallsvariable X [mm]f(t)=f(-t)[/mm] für alle [mm]t[/mm]
> gilt, haben [mm]X[/mm] und [mm]-X[/mm] dann zwingend die gleiche Verteilung?
> Wenn ja, wie kann man das herleiten?
Hallo custos,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
das scheint mir irgendwie trivial, und ich weiß deshalb
gar nicht recht, was da noch zu erklären oder herzu-
leiten wäre.
Betrachten wir aber einmal ein beliebiges (möglicherweise
kleines oder gar infinitesimal kleines) Intervall [mm] I=[a\,...\,b] [/mm]
mit a<b und dessen an 0 gespiegeltes Intervall [mm] \overline{I}=[-b\,...\, [/mm] -a] .
Dann kann man leicht zeigen, dass unter der Annahme,
dass f eine gerade Funktion ist (also f(-t)=f(t) für alle t),
folgendes gilt:
[mm] $\mbox{\Large{\integral_{I}f(t)\ dt\ =\ \integral_{\overline{I}}f(t)\ dt\ =\ \integral_{I}f(-t)\ dt\ =\ \integral_{\overline{I}}f(-t)\ dt}}$
[/mm]
LG , Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:57 Mo 21.10.2013 | | Autor: | custos |
Habe ich mir inzwischen auch so ungefähr überlegt. Ich habe das jetzt mal versucht, konkret an der Dichtefunktion zu zeigen, aber ich habe am Ende ein Minus zu viel, ich komme bei der negativen Verteilungsfunktion von -X raus:
[mm]F_X(x) = P\{X\leq x\}
&= \int_{-\infty}^xf(t)dt\\
&= \int_{\infty}^{-x}f(-t)dt\\
&= -\int_{-x}^\infty f(-t)dt\\
&= -\int_{-x}^\infty f(t)dt\\
&= -P\{X\geq -x\}\\
&= -P\{-X\leq x\}\\
&= -F_{-X}(x)[/mm]
Ich brauche das so kleinschrittig, um das gut zu verstehen. Aber wo ist mein Fehler?
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> Habe ich mir inzwischen auch so ungefähr überlegt. Ich
> habe das jetzt mal versucht, konkret an der Dichtefunktion
> zu zeigen, aber ich habe am Ende ein Minus zu viel, ich
> komme bei der negativen Verteilungsfunktion von -X raus:
>
> [mm]F_X(x) = P\{X\leq x\}
&= \int_{-\infty}^xf(t)dt\\
&= \int_{\infty}^{-x}f(-t)dt\\
&= -\int_{-x}^\infty f(-t)dt\\
&= -\int_{-x}^\infty f(t)dt\\
&= -P\{X\geq -x\}\\
&= -P\{-X\leq x\}\\
&= -F_{-X}(x)[/mm]
>
> Ich brauche das so kleinschrittig, um das gut zu verstehen.
> Aber wo ist mein Fehler?
Hallo custos,
in deiner Entwicklung kommen nach der Reihe 8 Gleich-
heitszeichen vor. Der Fehler liegt beim dritten davon.
LG , Al-Chw.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 04:32 Di 22.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo custos!
> [mm]F_X(x) = P\{X\leq x\}
&= \int_{-\infty}^xf(t)dt\\
&= \int_{\infty}^{-x}f(-t)dt\\
&= -\int_{-x}^\infty f(-t)dt\\
&= -\int_{-x}^\infty f(t)dt\\
&= -P\{X\geq -x\}\\
&= -P\{-X\leq x\}\\
&= -F_{-X}(x)[/mm]
Kleine Ergänzung zu Al-Chwarizmis Antwort:
Anstelle des falschen dritten Gleichheitszeichens benötigst du Substitution.
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 08:47 Di 22.10.2013 | | Autor: | custos |
Ich substituiere also bspw. -t durch s. Oder wie ist das gemeint? Aber wie komme ich dann dazu, dass ich -x statt x als Integralgrenze stehen hab? Sonst komme ich ja nicht bei der Verteilungsfunktion von -X an. :(
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:42 Di 22.10.2013 | | Autor: | custos |
Neuer Versuch:
[mm]F_X(x) &= P\{X\leq x\}\\
&= \int_{-\infty}^xf(t)dt\\
&= \int_{-\infty}^xf(-t)dt\\
&\overset{s:=-t}= \int_{\infty}^{-x}-f(s)ds\\
&= \int_{-x}^\infty f(s)ds\\
&= P\{X\geq -x\}\\
&= P\{-X\leq x\}\\
&= F_{-X}(x)[/mm]
Funktioniert das?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:16 Di 22.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
> Neuer Versuch:
>
> [mm]F_X(x) &= P\{X\leq x\}\\
&= \int_{-\infty}^xf(t)dt\\
&= \int_{-\infty}^xf(-t)dt\\
&\overset{s:=-t}= \int_{\infty}^{-x}-f(s)ds\\
&= \int_{-x}^\infty f(s)ds\\
&= P\{X\geq -x\}\\
&= P\{-X\leq x\}\\
&= F_{-X}(x)[/mm]
>
> Funktioniert das?
Ja, die Gleichungskette stimmt.
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